【数学史在中学数学教育中的作用】 在中学数学教学中渗透数学史的教育
时间：2018-12-23 19:51:18 来源：雅意学习网 本文已影响 人 
摘 要：数学史对数学教育有着很大的意义，这在十九世纪就已经引起了数学史家们的注意。针对在中学数学教学中忽视对数学史的教育的这一现象，本文结合相关资料谈一谈数学史在中学数学教育中的作用。
关键词：数学史 中学数学教育
引言
伴随着信息时代的到来，数学知识更加广泛和自觉地渗透到科学技术的各个领域中，数学开始更加紧密地和其他学科联系起来，成了一种指导人们的“现实文化”。英国数学家、哲学家怀特海德（Whitehead）曾经说：“数学是对于客观世界的量化模式的建构与研究。”这是对当今数学的特征的总结。可见，当今世界要有所作为数学知识必不可少，中学数学又由其基础性，更是非学好不可，专业知识与历史知识总是互为补充的。就是说，不仅研究、学习历史需要具备一定的专业知识，数学史是学习数学、认识数学的工具；而且学习专业知识也同样需要用历史知识帮助分析和思考。《数学课程标准》指出：“数学课程应当反映数学的历史应用和发展趋势。”因此，让学生了解数学课程的发展历史是促进数学学习的必要途径。利用数学史不但可以加深学生对数学本质的了解，同时还可以在很大程度上拓展学生的视野。
一、数学史能激发学生学习数学的兴趣
新课标提出教师除了传授知识以外，还应该把情感、态度的培养作为教学中一项重要工作，只有这样，学生才会对数学学习产生浓厚兴趣，而兴趣在学习中所起的作用是众所周知的。“知之者不如好之者”，教师要努力培养学生对数学的兴趣，至少不要使学生厌恶数学。美国心理学家布鲁纳认为，使学生处于被动接受状态会压抑学生学习的主动性，主张在教师精心引导下，教学方法应该多种多样，以使学生逐渐产生对数学的学习兴趣。可以说一个教师教学成功的关键就在于是否能培养学生对该学科的兴趣并使其能长久地保持下去。在实际教学中一般应注意下列事项：
(1)注意每堂课的开始，每节、每章及整个课程的开始，使学生有兴趣，能吸引其注意力，好的开始是成功的一半。
(2)针对青少年心理，可以采用故事方式，语言要生动，富于启发性，使学生常有新鲜感。了解数学史，能增长见识，开拓视野，产生对数学的好奇心，增强对数学的兴趣。华罗庚、陈景润都是非常出色的数学家，华罗庚促进了奥林匹克数学的发展，陈景润与歌德巴赫猜想的故事为中国人赢得了骄傲。牛顿由苹果自然落地而发现、提出了万有引力，在力学研究史上是一次很了不起的发展；爱迪生不畏困难，对科学执着追求，才博得了“发明大王”的称号。又如，高斯7岁那年上学了。头两年没有什么特殊的事情。1787年高斯10岁，他进入了学习数学的班次，这是一个首次创办的班，孩子们在这之前都没有听说过算术这么一门课程。数学教师是布特纳（Buttner），他对高斯的成长起了很大的作用。在全世界广为流传的一则故事说，高斯10岁时算出布特纳给学生们出的将1到100的所有整数加起来的算术题，布特纳刚叙述完题目，高斯就算出了正确答案。不过，这很可能是一个不真实故事。据对高斯素有研究的著名数学史家E.T.贝尔（E.T.Bell）考证，高斯10岁时，布特纳刚叙述完题目：81297+81495+81693+…+100899，高斯就算出了正确答案。贝尔根据高斯本人晚年的说法而叙述的史实，应该是比较可信的。而且，这更能反映高斯从小就注意把握更本质的数学方法这一特点。听了这些故事学生的学习热情高涨，都会准备着为科学的发展而努力读书。
二、数学史能使学生对引入数学问题、概念、理论和方法的动机与产生的后果有所了解
提到这一点我们不妨来看一下非欧几何的发现过程。非欧几何的开山祖师有三人：高斯、Lobatchevsky（罗巴切乌斯基，1793～1856）、Bolyai（波埃伊，1802～1860）。十八世纪时，大部分人都认为欧几里得几何是物质空间中图形性质的正确理想化。特别是康德认为关于空间的原理是先验综合判断，物质世界必然是欧几里得式的，欧几里得几何是唯一的、必然的、完美的。
既然是完美的，大家希望公理、公设简单明白、直截了当。其它的公理和公设都满足了上面的这个条件，唯独平行公设不够简明，像是一条定理。
欧几里得的平行公设是：每当一条直线与另外两条直线相交，在它一侧做成的两个同侧内角的和小于两直角时，这另外两条直线就在同侧内角和小于两直角的那一侧相交。即：过两点有且只有一条直线与已知直线平行。
在《几何原本》中，证明前28个命题并没有用到这个公设，这很自然引起人们考虑：这条�里�唆的公设是否可由其它的公理和公设推出，也就是说，平行公理可能是多余的。
之后的两千多年，许许多多的人曾试图证明这点，有些人开始以为成功了，但是经过仔细检查发现：所有的证明都使用了一些其它的假设，而这些假设又可以从平行公设推出来，所以他们只不过得到一些和平行公设等价的命题罢了。
到了十八世纪，有人开始想用反证法来证明，即假设平行公设不成立，企图由此得出矛盾。他们得出了一些推论，比如“有两条线在无穷远点处相交，而在交点处这两条线有公垂线”等等。在他们看来，这些结论不合情理，因此不可能真实。但是这些推论的含义不清楚，也很难说是导出矛盾，所以不能说由此证明了平行公设。
从旧的欧几里得几何观念到新几何观念的确立，需要在某种程度上解放思想。这主要是罗巴切夫斯基的开创性工作。要认识到欧几里得几何不一定是物质空间的几何学，欧几里得几何学只是许多可能的几何学中的一种。而几何学要从由直觉、经验来检验的空间科学要变成一门纯粹数学，也就是说，它的存在性只由无矛盾性来决定。应该指出，非欧几何为广大数学界接受还是经过几番艰苦斗争的。首先要证明第五公设的否定并不会导致矛盾，只有这样才能说新几何学成立，才能说明第五公设独立于别的公理公设，这是一个起码的要求。
当时证明的方法是证明“相对无矛盾性”。因为当时大家都承认欧几里得几何学没有矛盾，如果能把非欧几何学用欧几里得几何学来解释而且解释得通，也就变得没有矛盾。而这就要把非欧几何中的点、直线、平面、角、平行等翻译成欧几里得几何学中相应的东西，公理和定理也可用相应欧几里得几何学的公理和定理来解释，这种解释叫做非欧几何学的欧氏模型。
对于罗巴切夫斯基几何学，最著名的欧氏模型有意大利数学家贝特拉米于1869年提出的常负曲率曲面模型，德国数学家克莱因于1871年提出的射影平面模型和彭加勒在1882年提出的用自守函数解释的单位元圆内部模型。这些模型的确证实了非欧几何的相对无矛盾性，而且有的可以推广到更一般非欧几何，即黎曼创立的椭圆几何学，另外还可以推广到高维空间上。
因此，从十九世纪六十年代末到八十年代初，大部分数学家接受了非欧几何学。尽管有的人还坚持欧几里得几何学的独特性，但是许多人明确指出非欧几何学和欧氏几何学平起平坐的时代已经到来。当然也有少数顽固派，如数理逻辑的缔造者弗雷格，至死不肯承认非欧几何学，不过这已无关大局了。
应当指出，Bolyai的父亲是高斯大学的同学，Bolyai沉溺于平行公理，最后与罗巴切夫斯基同时发展出了非欧几何，并且在1832～1833年发表了研究结果，老Bolyai把儿子的成果寄给老同学高斯，想不到高斯却回信道：“to praise it would mean to praise myself.（我无法夸赞他，因为夸赞他就等于夸奖我自己。）”早在几十年前，高斯就已经得到了相同的结果，只是怕不能为世人所接受而没有公布而已。
本文为全文原貌 未安装PDF浏览器用户请先下载安装 原版全文 非欧几何学的创建对数学的震动很大。数学家开始关心几何学的基础问题，从十九世纪八十年代起，几何学的公理化成为大家关注的目标，并由此产生了希尔伯特的新公理化运动。
三、数学史对数学知识给出了一个整体框架，能使学生对数学有一个整体的认识
数学是一个庞大的领域，在数学王国中旅游，数学史是一个最好的导游。就拿我们现在常用的数字符号系统――阿拉伯数系来说，它的全称是印度-阿拉伯数系。之所以用印度和阿拉伯命名，是因为它可能是印度人发明的，又由阿拉伯人传到西欧的。数系扩充顺序为：
（自然数→整数→有理数→无理数→）实数→复数
数学史是学习数学、认识数学的工具。人们要弄清数学概念、数学思想和方法的发展过程，增长对数学的通识，建立数学的整体意识，就必须运用数学史作为补充和指导。特别是，现代数学的体系犹如一棵枝叶繁多的大树，站在树下，人无法分清楚其中一片树叶到底属于哪一个枝丫，而数学史就像是这棵大树的脉络，它的作用就是指引方向的“路标”，给人以启迪和明鉴。
四、通过学习数学史还可以端正学生的学习态度，使学生对数学灵感的产生有所了解
柴可夫斯基说：“灵感是这样一位客人，他不爱拜访懒惰者。”灵感作为创造过程中思维活动的高潮，产生于长期艰苦的脑力劳动之后，是辛勤劳动的结晶，是长期艰苦努力和创造性思维的结果。如四元数的创始人，三维数与高维数耗费了他十年的时光。1843年10月16日，当他同妻子沿着皇宫边的护城河散步时，突然有了灵感：把二维复数扩展到四维而不是三维，并放弃了乘法交换律，四维数表示成z=a+ib+jc+kd，其中i =j =k =ijk=-1。再有笛卡尔发现坐标系；阿基米德是在大量计算和实验而不得其解之后，才受到“浴缸溢水”启示；牛顿也是在冥思苦想和大量观察的基础上才被“苹果落地”的现象启发。所以灵感是在大量的创造性劳动之后的一种思维能力的飞跃现象，也是人对某一问题的思考由量变到质变转化的结果。没有大量的积累，就不可能有质的转变。我们平时所从事的各种各样的思考活动都是为灵感的出现积累能量。仅凭侥幸，是永远也得不到灵感光顾的。
以上是我对数学史在中学数学教育中的作用的一些看法。要充分发挥数学史的作用，还应该在数学教学的过程过程中自觉渗透历史发展的观点，使学生了解知识的发生、发展过程，看清知识成果中的思想和方法。另外，还应该向学生推荐一些适合的数学史书籍供其阅读，这样不仅可以增强其对数学的兴趣和理解，同时也可以通过数学家们的榜样示范作用对学生进行教育。
参考文献：
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注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”
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