第99炼,归纳推理与类比推理

时间：2020-10-14 13:30:47　来源：雅意学习网本文已影响人

　第 99 炼归纳推理与类比推理一、基础知识：

　（一）归纳推理：

　1、归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理（简称归纳），简言之，归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理 2、处理归纳推理的常见思路：

　（1）利用已知条件，多列出（或计算出）几个例子，以便于寻找规律（2）在寻找规律的过程中，要注意观察哪些地方是不变的（形成通式的结构），哪些地方是变化的（找到变量），如何变化（变量变化的规律）

　（3）由具体例子可将猜想的规律推广到一般情形，看是否符合题意 3、常见的归纳推理类型：

　（ 1 ）

　函数的迭代：

　设 f 是 D D  的函数，对任意 x D  ，记              0 1 2 1, , ,n nf x x f x f x f x f f x f x f f x        ，则称函数  nf x 为   f x 的 n 次迭代；对于一些特殊的函数解析式，其  nf x 通常具备某些特征（特征与 n ）有关。在处理此类问题时，要注意观察解析式中项的次数，式子结构以及系数的特点，以便于从具体例子中寻找到规律，得到  nf x 的通式（2）周期性：若寻找的规律呈现周期性，则可利用函数周期性（或数列周期性）的特点求出某项或分组（按周期分组）进行求和。

　（3）数列的通项公式（求和公式）：从数列所给的条件中，很难利用所学知识进行变形推导，从而可以考虑利用条件先求出几项，然后找到规律，猜出数列的通项公式（求和公式）

　（4）数阵：由实数排成一定形状的阵型（如三角形，矩形等），来确定数阵的规律及求某项。对于数阵首先要明确“行”与“列”的概念。横向为“行”，纵向为“列”，在项的表示上通常用二维角标ija 进行表示，其中 i 代表行， j 代表列。例如：34a 表示第 3 行第 4 列。在题目中经常会出现关于某个数的位置问题，解决的方法通常为先抓住选取数的特点，确定所求数的序号，再根据每行元素个数的特点（数列的通项），求出前 n 行共含有的项的个数，从而确定该数位于第几行，然后再根据数之间的规律确定是该行的第几个，即列。

　（二）类比推理：

　1、类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理，称为类比推理（简称类比）

　2、常见的类比类型及处理方法：

　（1）运算的类比：通常是运算级数相对应：

　① 加法  乘法， ② 数乘（系数与项的乘法）

　 指数幂 ③ 减法  除法（2）运算律的类比：在数学中的其它领域，如果满足加法，乘法的交换律，以及乘法的分配律，则代数表达式部分运算公式可推广到该领域中。例如 ①在向量数量积的运算中，满足交换律与分配律，则：

　代数中的平方差公式：

　  2 2a b a b a b     ，和差完全平方公式： 22 22 a b a ab b    

　均可推广到向量数量积中：  2 2a b a b a b     ， 22 22 a b a a b b     

　②在复数的运算中，满足交换律与分配律，则实数中的运算公式可推广到复数中（甚至是二项式定理）

　（3）等差数列与等比数列的类比：等差数列的性质通常伴随着一，二级运算（加减，数乘），等比数列的性质通常伴随着二，三级运算（乘除，乘方）。所以在某些性质中体现出运算上的类比。例如：设  na 为等差数列，公差为 d ；  nb 为等比数列，公比为 q ，则 ① 递推公式：11nn nnba a d qb   

　② 通项公式：

　 11 11nn na a n d b b q     

　 ③ 双项性质：m n p q m n p qm n p q a a a a m n p q b b b b             

　④ 等间隔取项，在数列  na ，  nb 中等间隔的取项：

　则1 2, , ,mk k ka a a 成等差数列1 2, , ,mk k kb b b 

　成等比数列（4）维度的类比：平面几何（二维）的结论与立体几何（三维）的结论进行类比，当维度升高时，涉及的要素也将维度升高，例如：

　①位置关系：平面中的线的关系  空间中的面的关系，线所成的角  线面角或二面角，

　②度量：线段长度  图形的面积，图形面积  几何体体积，点到线的距离  点到平面距离 ③衍生图形：内切圆  内切球，外接圆  外接球，面对角线  体对角线（5）平面坐标与空间坐标的类比：平面直角坐标系坐标   , x y  空间直角坐标系坐标  , , x y z ，在有些坐标运算的问题中，只需加上竖坐标的运算即可完成推广，例如：

　① 线段中点坐标公式：

　平面：设    1 1 2 2, , , A x y B x y ，则 AB 中点1 2 1 2,2 2x x y yM     

　空间：设    1 1 1 2 2 2, , , , , A x y z B x y z ，则 AB 中点1 2 1 2 1 2, ,2 2 2x x y y z zM       ② 两点间距离公式：

　平面：设    1 1 2 2, , , A x y B x y ，则    2 21 2 1 2AB x x y y    

　空间：设    1 1 1 2 2 2, , , , , A x y z B x y z ，则      2 2 21 2 1 2 1 2AB x x y y z z      

　3、同一个命题，不同的角度类比得到的结论可能不同，通常类比只是提供一个思路与方向，猜想出一个命题后通过证明才能保证其正确。在有关类比的题目中通常选择正确的命题作为类比的结论二、典型例题：

　例 1：已知  xxf xe ，定义            " ""1 2 1 1, , ,n nf x f x f x f x f x f x          ，经计算      1 2 31 2 3, , , ,x x xx x xf x f x f xe e e    

　照此规律，则  20151 f  （

　）

　A. 2015 

　 B. 2015

　 C. 2014e

　2014e

　思路：由定义可知：

　 nf x 即为  1 nf x的导函数，通过所给例子的结果可以推断出    1nnxx nf xe  ，从而  20152015xxf xe ，所以  201520141 fe

　答案：C 例 2：蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似的看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图，其中第一个图有 1 个蜂巢，第二个图有 7 个蜂巢，第三个图有19 个蜂巢，按此规律，第六幅图的蜂巢总数为（

　）

　127

　思路：从所给图中可发现第 n 个图可以视为在前一个图的基础上，外面围上一个正六边形，且这个正六边形的每条边有 n 个小正方形，设第 n 个图的蜂巢总数为   f n ，则可知   f n 比  1 f n多的蜂巢数即为外围的蜂巢数。即 6 6 n

　（每条边 n 个，其中顶点被计算了两次，所以要减 6 ），所以有       1 6 1 f n f n n     ，联想到数列中用到的累加法，从而由       21 6 1 2 1 3 3 f n f n n n n             ，且   1 1 f 

　则  23 3 1 f n n n    。代入 6 n  可得  26 3 6 3 6 1 91 f      

　答案：C 例 3：将正整数排成数阵（如图所示），则数表中的数字 2014 出现在（

　）

　第 44 行第 78 列

　第 45 行第 78 列 C.

　第 44 行第 77 列

　第 45 行第 77 列思路：从数阵中可发现每一行的末尾均为一个完全平方数，即第k 行最后一个数为2k ，所以考虑离 2014 较近的完全平方数：2 244 1936,45 2025   ，所以 2014 位于第 45 行，因为 1936 是第 44 行的最后一个数，所以 2014 为第 45 行中第  2014 1936 78   个数，即位于第 45 行第 78 列答案：B 例 4：已知结论：“在 ABC 中，各边和它所对角的正弦比相等，即sin sin sina b cA B C  ”，若把该结论推广到空间，则结论为：“在三棱锥 A BCD  中，侧棱 AB 与平面 ACD ，平面BCD 所成的角为 ,   ，则有（

　）

　sin sinBC AD 

　sin sinAD BC 

　sin sinBCD ACDS S 

　sin sinACD BCDS S 

　思路：本题为维度推广题，平面中的线段所成的夹角推广为线面角，所以可将正弦定理的边长（一维度量）类比推广为面积（二维度量），正弦定理中为角所对的边长，则在三棱锥中推广为线面角所对的侧面面积，即  所对的侧面为平面 BCD ，  所对的侧面为平面 ACD ，

　所以猜测sin sinBCD ACDS S  ，再考虑证明其正确性。证明过程如下：

　证明：分别过 , B A 作平面 ACD ，平面 BCD 的垂线，垂足分别为 , E F

　由线面角的定义可知：

　, BAE ABF      

　 1 1sin3 3B ACD ACD ACDV S BE S AB        

　同理：1 1sin3 3A BCD BCD BCDV S AE S AB        

　1 1sin sin sin sin3 3ACD BCD ACD BCDS AB S AB S S                

　 sin sinBCD ACDS S   得证答案：C 例 5：三角形的面积  12S a b c r     ，其中 , , a b c 为其边长， r 为内切圆半径，利用类比法可以得出四面体的体积为（

　）

　 1 2 3 412V S S S S r      （其中1 2 3 4S S S S    分别为四个面的面积， r 为内切球的半径）

　B. 13V S h   （ S 为底面面积， h 为四面体的高）

　C.  1 2 3 413V S S S S r      （其中1 2 3 4S S S S    分别为四个面的面积， r 为内切球的半径）

　D.  13V ab bc ac h     （ , , a b c 为底面边长， h 为四面体的高）

　思路：本题为维度题，在三角形中，面积依靠内切圆半径与边长求解。则在四面体中，内切圆类比成内切球，边长类比为面积。所以四面体的体积与内切球半径与各面面积相关，即在A，C 中挑选。考虑在三角形中，可通过连接内心与各顶点，将三角形分割为三个小三角形，底边为各边边长，高均为半径 r ，所以面积  12S a b c r     ，其中系数12来源于三角形面积公式。进而类比到四面体中，可通过连接内切球的球心与各顶点，将四面体分割为 4个小四面体，以各面为底面，内切球半径为高。从而  1 2 3 413V S S S S r      。系数13来源于棱锥体积公式答案：C

　例 6：若数列  na 是等比数列，且 0na  ，则数列 1 2nn nb a a a n N    也是等比数列.若数列  na 是等差数列，可类比得到关于等差数列的一个性质为（

　）

　A. 1 2 nna a abn  是等差数列

　 B. 1 2 nna a abn   是等差数列 C. 1 2nn nb a a a    是等差数列

　 D. 1 2 nnna a abn   是等差数列思路：考虑在等比数列中，很多性质为应用二三级运算（乘除法，乘方开方），到了等差数列中，很多性质可类比为一二级运算（加减，数乘）。在本题中所给等比数列用到了乘法与开方，所以可联想到类比等差数列，乘法运算对应类比为加法，开方运算对应类比为除法。所以该性质为：若数列  na 是等差数列，则1 2 nna a abn   是等差数列。这个命题是正确的，证明如下：

　证明：设等差数列  na 的公差为 d ，则

　 1 2 1 1 211n n nn na a a a a a ab bn n        

　     1 2 1 1 211n n nn a a a a n a a an n        

　        1 1 2 1 1 1 11 1n n n n n nna a a a a a a a a an n n n               na 为等差数列

　   11 , 1,2, ,n ia a n i d i n     

　       111 1 221 1 1 2n nn ndnd n d d d n db bn n n n n n             

　 nb  为公差是2d的等差数列答案：B 例 7：对于大于 1 的自然数 m 的三次幂可用奇数进行一下方式的“分裂”：32=3 5 ，33 7 9 11    ，34 13 15 17 19     ，…，仿此，若3m 的“分裂数”中有一个是 61 ，则 m 的值是（

　）

　思路：观察这几个等式不难发现以下特征：（1）3n 可分解为 n 个连续奇数的和，（2）从32 开始这些奇数是按 3,5,7,9,

　顺次排列的。所以在第 n 个数时，所用的奇数的总数为   2 12 32n nn     个。从 3 开始算起， 61 是第61 31 302  个奇数。当7 n  ，可知所用的奇数总数为 27 个，当 8 n  ，可知所用的奇数总数为 35 个。所以 8 m 

　答案：C 例 8：从 1 开始的自然数按如图所示的规则排列，现有一个三角形框架在图中上下或左右移动，使每次恰有九个数在此三角形内，则这九个数的和可以为（

　）

　2097

　2112

　2012

　2090

　思路：当三角形在移动时，观察其规律，内部的数如果设第一行的数为 a N   ，则第二行的数为 7, 8, 9 a a a    ，其和为   3 8 a ，第三行的数为14, 15, 16, 17, 18 a a a a a      ，其和为   5 1 6 a ，所以这九个数的和为    3 8 5 16 9 104 S a a a a       ，代入到各个选项中看能否算出 a 即可。通过计算可得：

　9 104 2012 a  时， 212 a  符合题意答案：C 例 9：某种游戏中，黑，白两个“电子狗”从棱长为 1 的正方体1 1 1 1ABCD ABC D  的顶点 A出发，沿棱向前爬行，每爬完一条棱称为“爬完一段”，黑“电子狗”爬行的路线是1 1 1AA AD   ，白“电子狗”爬行的路线是1AB BB   ，它们都遵循如下规则：所爬行的第 2 i  段与第 i 段所在直线必须是异面直线（其中 i N ），设黑“电子狗”爬完2012 段，白“电子狗”爬完 2011 段后各自停止在正方体的某个顶点处，这时黑、白“电子狗”间的距离是_____________

　A 1AB 1BCC 1DD 1 D 1DC 1CBB 1AA 1

　思路：首先根据题目中所给规则，观察“电子狗”所走路径的规律。会发现黑“电子狗”所走的路线为1 1 1 1 1 1AA AD DC C C CB BA      ，然后周而复始，以 6 为周期；白“电子狗”所走的路线为1 1 1 1 1 1AB BB BC C D D D DA      ，也是以 6 为周期。从而由周期性的规律可得：

　2012 6 335 2   ，则黑电子狗到达1D ； 2011 6 335 1   ，所以白电子狗到达 B ，所以只需计算1BD 即可，由正方体性质可知13 BD 

　答案：

　例 10：把正整数按一定的规律排成了如图所示的三角形数阵，设 ,ija i j N   是位于这个三角形数中从上往下数第 i 行，从左往右数第 j 列的数，如325, a 

　若 2015ija  ，则 i j  

　(

　 ) A.

　 111

　 110

　 108

　 105 思路：观察三角形数阵可知奇数行中的数均为奇数，偶数行均为偶数。所以可知 2015ija 一定在奇数行中，先确定 i 的值，因为奇数构成首项为 1，公差为 2 的等差数列，所以第 k 个奇数   1 1 2ka k     ，因为   2005 1 2 1008 1    ，所以可得 2015 为第 1008 个奇数，考虑 2015 前面的奇数共占了多少行。由第 i 行由 i 个奇数可得：前 31 个奇数行内奇数共有  31 31 131 1 9612    ，前 31 个奇数行内奇数共有  32 32 132 1 10242    ，而961 1008 1024   ，所以 2015 在第 32 个奇数行中，即 63 i  ，再考虑 j 的值，第 31 个奇数行最后一个奇数为 961 2 1 1921    ，因为2015 1921472 ，所以 2015 为第 32 个奇数行的第 47 个数，即 47 j  ，从而 110 i j  

　答案：C

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