【与导数“熟”起来】导数
时间：2020-03-23 07:22:13 来源：雅意学习网 本文已影响 人 
摘 要：导数是高中数学中的一个重点，是高考必考点。且能够联系许多知识点，综合性很强，对学生的能力要求很高，为此，笔者整理出一些平时的学习经验和笔记，与读者分享。 关键词：导数；应用；高考
导数是研究函数的工具，随着高考数学对创新意识和个性品质的考察要求的提出，在知识的交汇点命题应该是考查这种创新意识的一个不错的选择。利用导数研究函数的单调性，再由单调性来证明不等式是函数、导数、不等式综合中的一个难点，也是高考的热点。下面先了解常用导数的求道法则和运算法则：
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
接下来介绍初学者较容易犯的错误，以使读者能够加以重视。甲公司
一、概念不清
例1 函数在区间内有且，则函数在区间内( )
错选 A,反例：
分析：选D，导数只是说明函数的变化情况，不能说明函数符号的正负。
二、忽略函数定义域
例2 求函数。
错解：直接对求导后判断得增区间为：，减区间为
分析：由已知得函数的定义域为，所以增区间为，减区间为。
三、认为导数值为0的点就是极值点
例3 判断正误：
（1）若
（2）若
（3）若
（4）若，右侧有
分析：仅（3）正确.（1）反例：；
（2）（4）反例：
四、混淆极值、最值
例4 已知函数的两个极值点是试判断函数在，处的函数中是最大值还是最小值，并说明理由。
解：由题意，，解得，.
由，故函数在处取得极大值，在取得极小值。
极值和最值的联系与区别：①极值不具有唯一性，极大(小)值可以是多个，也可以是一个，还可以是0个，而最值有唯一性(若存在)；②极大值可以比极小值大，也可以比极小值小，还可以相等，而最大值≥最小值；③极值在区间内部取得，而最值可以在区间内部取得，也可在区间端点取得；④若函数在某区间上的图像是连续不断的，且在该区间内存在唯一极值，则此极值必是函数的最值，总之，极值未必是最值，最值也未必是极值。
上文理清了常见错误，下面我们一起看一下导数在不等式的应用。
一、利用函数的导数证明不等式
直接构造函数，然后用导数证明该函数的增减性；再利用函数在它的同一单调递增(减)区间，自变量越大，函数值越大(小)，来证明不等式成立。
二、利用导数解决不等式恒等问题
例5 已知函数定义域内任意的的值，恒成立，求的取值范围。
分析：不等式恒成立问题，一般都会涉及到参数范围，往往把变量分离后可以转化为恒成立，于是m大于的最大值（或m小于的最小值），从而把不等式恒成立问题转化为函数求最值问题。因此，利用函数求函数最值是解决不等式恒成立问题的一种方法。
解：函数对一切，
可得：，
即有
设，则，由，
当，当
所以函数，
故，
三、结合分离变量的思想解不等式
例6
证明：原函数等价于，
设，当，
，
参考文献:
[1]人民教育出版社等编著.人教A选修 [M].北京：人民教育出版社，2007.
[2] 波利亚.怎样解题[M].上海：上海科技教育出版社，2007.
[3]刘婧.例谈高考中导数方法的应用[J].知识经济.2010（08）.
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