让课堂成为思维对话的场所_一年级思维训练100题

　　 思维是指在表象、概念的基础上对事物进行分析、综合、判断、推理等认识活动的过程.思维是以语言为载体和工具的,当人发生某种行为时,其大脑内部同时存在着一个表述思维过程的言语过程(内部语言).因此,使学生内隐的思维过程得以呈现的一个策略就是让学生将自己思考的内容、过程和结果运用语言表达出来,即把内部语言转化为外部语言.思维与对话两者间的关系是：思维(情感、心灵、体验、活动等)是对话的内容,对话是思维的外现和重要呈现方式与表达方式.这里的思维对话就是教师和学生围绕课堂教学主题及其相关问题,在是什么、为什么、如何解决等方面,相互之间所进行的分析、综合、判断、推理等的认识活动过程及沟通过程.之所以要进行思维对话,最重要的原因是由于在一个群体中,每个人具有不同智慧水平、知识结构、思维方式、认知风格,通过思维对话可以彼此了解、取长补短、分享彼此的观点和经验,从而产生新的知识和智慧,实现群体的共同进步.在教学中,思维对话参与者在遵守思维对话规则的前提下,其主体地位得到充分的尊重,他们能运用自己的智慧,独立地思考,并且自由地发表对问题的看法.同时,思维对话的主体也有倾听他人意见、接受他人批评的义务,并对他人的意见作出自己的反馈.经过“表达――反馈――回应――反馈”这样一个过程,使主体之间形成思维对话的循环,思维对话得以深入地进行下去.它具有平等性、开放性、互动性、发展性等特征.因此,思维对话是和谐高效课堂不可缺少的重要内容和形式,是创建和谐高效课堂的主要途径.传统的课堂教学,一个非常明显的特点是学生没有或者很少主动提出问题,“教师讲、学生听,教师问、学生答,教师写、学生抄”几乎成为课堂互动的全部,即使是在一些主动追求“对话场景”的公开课,其内容、方式也大都是由教师框定的,课堂的高度“集权”,使学生无法获取主体地位,教师的“教”大多是从自己的学习体验或感悟出发去传“说”给学生(现在比较普遍使用“一问一答的对话”情景也只是为了巩固和记忆结论性的知识).在此教学方式下,老师一味沉浸在自己的世界中或沉浸在知识的世界里,忘记了学生,与学生进行思维交流的大门根本没有被打开、被激活.这样的教学不仅使丰富的人文内涵缺失,而且学生获得的知识技能也只能是别人的话语,和他们自己的内心世界、心声无关.这种没有经过学生自己建构的学习是没有任何意义的,即使学到的知识也会随着时间的流逝而被遗忘或僵死在大脑中.下面就思维对话在教学中的应用举例说明,以期抛砖引玉.
　　1 通过思维对话,形成数学概念
　　 教材中多采用“定义(概念)――性质――定理――应用”的演绎体系呈现概念,希望学生学习概念后再解决问题,并通过解决问题进一步理解和掌握概念.这样的演绎体系虽然有利于学生知识系统的形成,但同时把有意义的、鲜活的生成数学概念的活动给掩盖了,使学生不知一些定义从何而来、为何如此规定.荷兰数学教育家弗赖登塔尔称其为“教学法的颠倒”.其实,每一个数学概念都有其原始的朴素思想或基本要素,都有其产生并不断完善的过程,都有层次递进的形成过程.因此,在数学概念教学中,我们应把教学活动设计成类似于数学家提炼概念并不断完善数学概念的过程,预设导致概念发生过程的系列问题,通过思维对话,驱动学生分析并发现数学概念中的朴素思想或基本要素,使学生的思维经历从已知到未知、从具体到抽象、从现象到本质的过程,从而使学生对概念知其然也知其所以然.
　　 案例1 “函数单调性”的教学
　　
　　师： 观察某市在某日24小时内的气温变化图(图1),在这一日内,随着时间t的增大,气温时而上升,时而下降,同学们能否用自己的语言描述该市这一日24小时内气温的变化状况？
　　 生1：在0时到4时、14时到24时,气温随着时间t的增大而下降；在4时到14时,气温随着时间t的增大而上升.
　　 师：如果去除其中的物理意义,能否抽象出气温函数的图象？
　　 生2：当然可以(如图2).
　　师：如何描述气温的数值θ随时间t的大小的变化状况？
　　 生3：我们不妨先研究函数θ=f(t),t∈［0,24］在区间［4,14］上的变化情况,从“形”的角度来看,图象从左至右逐渐升高；从“数”的角度来看,θ随t增大而增大.
　　 师：如何用数学语言来刻画函数θ=f(t),t∈［0,24］,在区间［4,14］上,“θ随t增大而增大”这一特征呢？
　　 生4：在区间［4,14］上,取几个不同值,例如t1=5,t2=6,t3=8,t4=10,得到相对应的θ1,θ2,θ3,θ4.若当t1＜t2＜t3＜t4时,有θ1＜θ2＜θ3＜θ4,则在区间［4,14］上,θ随t的增大而增大.
　　 生5：我有不同意见,在区间［4,14］上θ随t的增大一直在增大.而上述的这种描述只能说明在t1=5,t2=6,t3=8,t4=10时,θ随t的增大而增大,而不能反映在t取区间［4,14］上其他值时相应的θ值的变化情况,从而不能说明在区间［4,14］上,θ随t增大而增大.应该在区间［4,14］上取n个不同的输入值t1,t2,t3,…,tn,得到相对应的θ1,θ2,θ3,…,θn.若在t1＜t2＜t3＜…＜t n,有θ1＜θ2＜θ3＜…＜θn,则在区间［4,14］上,θ随t的增大而增大.
　　 生6：我觉得仍然不妥.在区间［4,14］上取n个不同的输入值t1,t2,t3,…,tn,得到相对应的θ1,θ2,θ3,…,θn,在t1＜t2＜t3＜…＜t n时,有θ1＜θ2＜θ3＜…＜θn,只能说明当t取区间［4,14］上有限个数时θ的变化情况,并不能反映当t取区间［4,14］上其他值时,θ随t增大而增大.应该在区间［4,14］上取无数个不同的输入值t1,t2,t3,…,tn,…,得到相对应的θ1,θ2,θ3,…,θn,…,在t1＜t2＜t3＜…＜t n＜…时,有θ1＜θ2＜θ3＜…＜θn＜…,则在区间［4,14］上,θ随t的增大而增大.
　　 生7：在区间［4,14］上取无数个不同的输入值t1,t2,t3,…,tn,…,得到相对应的θ1,θ2,θ3,…,θn,…,在t1＜t2＜t3＜…＜t n＜…时,有θ1＜θ2＜θ3＜…＜θn＜…,仍然不能说明在区间［4,14］上,θ随t的增大而增大.因为区间［4,14］上除了无数个数外仍然可能有其他的数,不能反映当t取区间［4,14］上其他值时,θ随t的增大而增大.应该在区间［4,14］上取所有的输入值t,得到相对应的θ,当t增大时,有θ也增大,则在区间［4,14］上,θ随t的增大而增大.
　　 师：但是,区间［4,14］内所有的数我们是无法取的.怎么办呢？
　　 生8：我们只能够任意取,为了表示任意取的t在增大,我们在区间［4,14］上任意取两个值t1、t2,当t1＜t2时,总有θ1＜θ2,就可以说在区间［4,14］上,θ随t的增大而增大.
　　 很多老师认为函数单调性的定义学生很容易理解和接受,往往在教学中很快给出最终形式化的严格定义,把教学重点放在了学生利用严格化的定义证明和判断函数单调性的习题上,忽视了函数单调性定义所蕴涵的一些本质思想――揭示函数变量之间变化方向的相互依赖关系,这种变化的相互依赖关系是在一定的范围内讨论的,是通过任意两点的大小变化关系来刻画函数的整体增减趋势的.为此,教师从生活中常见的温度随时间变化的关系这一学生具有切身感受的实例出发,沿着“问题提出――问题解决――数学表达”的轨迹,通过思维对话,激发学生的探究热情和思维活动,逐渐揭示函数在区间上单调增减的本质.这既让学生理解了最终给出的严格的单调性定义的含义,也让学生体验到了如何用局部的点的任意性推演到函数的整体单调的性质这一数学思想方法,使学生在解决问题的过程中理解单调性概念形式化的必要性(解决问题的需要),不仅突破了如何理解形式化概念这一难点,更突破了为什么要形式化和为什么要这样形式化这一难点,使学生知其然也知其所以然．
　　2 通过思维对话,深刻理解知识
　　 长期以来,很多教师习惯于学生“异口同声”,并且满足于能听到学生的“异口同声”,而不甚喜欢课堂上有不同的声音.对于课堂上“异口同声”之外的声音,教师常常视之为“干扰”、“麻烦”,怕顾此而失“彼”(教学预设)、因小而失“大”(教学过程),因此常常是故意地视而不见、听而不闻,或者是虚晃一枪、敷衍了事.
　　 案例2 一道数列客观题引起的辩论
　　 问题：“an+1+an-2=an+an-1(n∈N*,且n≥3)”是“数列{an}成为等差数列”的
　　( )
　　 A.充分非必要条件
　　 B.必要非充分条件
　　 C.充要条件
　　 D.既非充分又非必要条件
　　 教师原来的想法是通过这道选择题所设置的“陷阱”诱使学生上当,尔后吸取教训,再及时投入下面的教学内容.但题目一出,学生立即投入到激烈的辩论之中,并大有不依不饶,非得弄个水落石出之气概,教者因势利导,索性放弃了原来的教学设计,与学生一起投入到无拘无束而又互不相让的辩论之中.
　　 生1：由已知得an+1-an=an-1-a n-2,符合等差数列的定义,因此是充要条件.
　　 生2：不对,如1,2,1,2这四个数也符合题设条件,能说它们成等差数列吗？
　　 生1：这有限的四个数不算,要对所有的项都成立才行.
　　 生3：数列1,2,1,2,1,2,…就对所有符合条件的n都成立,那又怎样解释呢？
　　 生1：那么,你对条件an+1-an=an-1-a n-2,明明符合等差数列的定义又作如何解释呢？
　　 生3：虽然上面数列有a4-a3=a2-a1=1,但a5-a4=a3-a2=-1,…,它们不是同一个常数.
　　 生1：这样的话,答案就应该选B了.
　　 师：通过上面的讨论我们得出了正确的答案.你能否举出字母的例子吗？
　　 生4：能!数列a,b,a,b,a,b,…(a≠b)符合题设条件,但它不是等差数列.
　　 师：很好!我们能否再将问题进一步研究,反过来证明数列a,b,a,b,a,b,…(a≠b)对所有n∈N*且n≥3都有an+1+an―2=an+an―1成立？
　　 生(众)：能,只要能写出它的通项公式就可以了.
　　 通过同学们的观察探索得出通项公式为an=(a+b)+(a-b)•(-1)n-12,并证明了结论.
　　 正面的论述、反面的辩驳、结论的拓广、问题的延伸使课堂探讨、辩论的气氛达到了高潮,通过辩论达成一致意见,到这时可以发现结论反而变得不是最重要,学生思维的发展和能力的提高使这节课成为公认的数学课堂教学中的“精品”.
　　3 通过思维对话,探索数学规律
　　 德国教育家第斯多惠说：“一个坏老师奉送给学生真理,一个好老师则教学生发现真理”.荷兰数学教育家弗赖登塔尔反复强调：学习数学的唯一正确方法是实行“再创造”,也就是由学生本人把要学的东西自己去发现或创造出来,教师的任务是引导和帮助学生去进行这种再创造,不是把现成的知识灌输给学生．
　　 案例3 “球的体积”的教学
　　 师：凭我们的经验如何求一个球的体积呢？
　　 生：方法1：可以将一个球放入盛满水的容器,排出的水的体积就是球的体积；方法2：可以先称出球(实心球)的质量m,根据V＝mP(其中p是构成球的物质的密度要已知).
　　 师：很好的方法!这样的方法对每一个球体都适用吗？比如,地球可以认为是一个球,能用这种方法来算地球的体积吗？
　　 生：看来,只有知道球的体积公式,才好呢!
　　 师：牛顿说过,没有大胆的猜想,就做不出伟大的发现.你们能不能先猜一猜球的体积公式可能会是什么样的式子呢？
　　 生：因为球的大小只与半径有关,所以可猜想球的体积一定是关于球半径R的式子.联想到圆的周长C＝2πR,圆的面积S＝πR2,可以猜想球的体积可能是关于R的三次方的式子,即V＝mR3,m是与π有关的常数.
　　 师：很有见地的猜想.如果猜想不错的话,又如何来确定m的值呢？
　　 生：可以多做几次“将不同球放入盛满水的容器,排出的水的体积就是球的体积”这样的实验,估算出m的值.
　　 (教师给予肯定,但同时指出不够准确.)
　　 师：你们以前见过与半径有关的几何体的体积吗？你能想出与它有类似未知量的问题吗？(G•波利亚语)
　　 生：有.圆柱体的体积V圆柱＝πR2h和圆锥体积V圆锥＝13R2h.
　　 师：球的体积V＝mR3与圆柱体的体积V圆柱＝πR2h和圆锥体的体积V圆锥＝13πR2h能比较吗？
　　 生：为了能进行比较,可以取圆柱和圆锥的底面半径及球半径都为R.球的体积可能是关于R的三次方的式子,而圆柱体的体积V圆柱＝πR2h和圆锥体的体积V圆锥＝13πR2h是关于R的二次方的式子,可取圆柱和圆锥的高为R的倍数,为了便于球容于圆柱,所以可取圆柱的高为2R,同时取圆锥的高为2R.
　　 于是,师生共同做以下实验：“将底面半径为R高为2R圆柱放满水,将半径为R的球放入圆柱内,而水溢出,取出球,圆柱中还剩下的水正好倒满底面半径为R高为2R圆锥”,从而发现V球＝V圆柱-V圆锥＝πR2•2R-13πR2•2R＝43πR3.
　　 在教学中,教师没有直接告诉学生的体积公式,而是积极创设问题情境,通过思维对话,不断打破学生的认知平衡,学生始终处于探究状态,通过学生的猜想、实验、验证得出球的体积公式.
　　4 通过思维对话,寻求解题思路
　　 新课程理念的一个主题――将“知识传授中心课程”转变为“思维对话中心课程”. “思维对话中心课程”意味着课程是一个教学事件,它需要在一个个具体生动的情境中不断被创生出来,在这里,学生的经历和体验以及教师的经验和艺术是实现这种“思维对话”的关键；教师在教学中对课程的创新,意味着教学在本质上不是一个技术化、程序化的训练过程,而是一个依赖教师的“实践智慧”的引导过程,教师的使命是帮助学生在课程中获得解放,而不是使学生在“公共框架”中就范.在课堂教学中,通过思维对话,时刻关注学生的学习过程,关注学生所使用的方法和手段以及达到的效果,捕捉教学中的灵感,及时调整设计思路和方法,从而使课堂教学达到最佳效果.
　　 案例4 已知数列{an}中,a1=1,an+1=an2an+1,求数列{an}的通项公式.
　　 生1：可用不完全归纳法解得通项an=12n-1,然后用数学归纳法加以证明.
　　 生2：由an+1=an2an+1�1an+1=2an+1an=1an＋2�1an+1-1an=2,所以,数列{1an}是以1a1=1为首项,公差为2的等差数列.故1an=1+2(n-1)=2n-1,即an=12n-1.
　　 师：这两位同学都解得很好,特别是生2的解答具有一般性,我们能否对这个问题一般化,得出一般性的结论？
　　 生3：已知数列{an}中,a1=a(a≠0),an+1=manAan+m(A•m≠0),则可用生2的方法得到1an+1=Am+1an�1an+1-1an=Am,所以数列{1an}是以1a1=1a为首项,公差为Am的等差数列,所以1an=1a+Am(n-1)�an=mam+(n-1)A.
　　 师：生3的观察与归纳能力很强,并且思维很严密,(A•m≠0),从特殊到一般是数学的一种重要的思维方法.(见生4手托腮帮在沉思),你们还有什么问题？
　　 生4：我在思考生3的一般性问题,递推式中分子分母同有一个m,如不相同时,又如何求通项呢？比如案例4的其它条件不变,递推式中分母的1改为2,即an+1=an2an+2,如何求通项？这时是否有更一般的结论呢？(这时全体同学为之振奋,都有想解出这个问题的欲望)
　　 师：这个问题提得真好,学习是要有这样的钻劲,要敢于提问题,那么哪位同学能解决这个问题吗？
　　 生5：由an+1=an2an+2�1an+1=2an+2,令1an=bn,则bn+1=2bn+2�bn+1＋2＝2(bn+2),所以数列{bn+2}是以b1+2=1a1+2=3为首项,公比为2的等比数列.所以bn+2=3•2n-1,故an=13•2n-1-2
　　 师：生5的解法精辟独到,利用换元后,化归为我们所熟知的题型：an+1=Aan+B(其中A•B≠0,且A≠1),进而求出通项.这样就可以对这类公式的递推式给出一般性的结论.
　　 生6：已知数列{an},a1=1a,an+1=AanBan+C
　　(A,B,C≠0,且A≠C),求通项an.
　　 解 由已知得：1an+1=CA•1an+BA,令1an=bn,则bn+1=CAbn+BA,设bn+1+λ=CA(bn+λ)�λ=BC-A,(因C≠A)所以数列{bn+1+BC-A}是以b1+BC-A=a+BC-A≠0为首项,公比为CA的等比数列,所以bn=a+BC-ACAn-1-BC-A,代入an=1bn,可求出an的通项.
　　 师：俗话说：三个臭皮匠,顶个诸葛亮,探求知识须从疑惑开始,只要善于动脑筋,善于提出问题,通过大家的交流、讨论,我们一定能把数学学得很好.
　　 布鲁纳指出：“探索是数学的生命线.”解题教学的重点应放在解题思路探索的过程中,放在发现解题方法的过程中,通过思维对话,让学生在学习中提高观察能力；在分析综合中提高逻辑推理能力；在抽象概括中提高抽象思维能力；在数式的变换与计算中提高运算能力；在形体研究中提高空间想象能力等,本案例就充分说明了这一点.
　　5 通过思维对话,开发错误资源
　　 学习数学的过程是一个“试误”的过程.所谓“试误”,就是尝试错误.通过“试误”,一方面可充分暴露学生思维过程的薄弱环节,有利于对症下药；另一方面,错误是正确的先导,有时错误比正确更具有教育价值.正如当代科学家、哲学家波普尔所说：“错误中往往孕育着比正确更丰富的发现和创造因素,发现的方法就是试误方法”.因此,通过暴露学生学习数学思维过程中的错误,提供以错误为源泉的学习反应刺激,通过学生“试误”的过程,可使学生从中审视、体验和反思,从而形成知错、改错、防错的良性反应.
　　 案例5 设函数y=f(x)的定义域为全体实数,则函数y=f(x-1),y=f(1-x)的图象关于
　　( )
　　 A.直线y＝0对称
　　 B.直线x＝0对称
　　 C.直线y＝1对称
　　 D.直线x＝1对称
　　 师：这道题虽不难,但考试中错误率很高,且是“两边倒”――选B与选D.下面就此题的选择请大家各抒己见,以理服人,要弄清孰对孰错,要悟出道理.
　　 生1：先作y＝f(x)关于y轴的对称图象,得到y＝f(-x)的图象,再把y＝f(-x)的图象向左平移1个单位,即得y＝f(-x＋1).故选B.
　　 生2：生1在第二步作“平移变换”时,方向错了,应把y＝f(-x)的图像向右平移1个单位,即得y＝f［-(x-1)］,即y=f(1-x).也选B.
　　 生3：我是“先平移后对称”,即把y=f(x)的图象向右平移1个单位,得到y=f(x-1)的图象,再作y＝f(x-1)的图象关于y轴的对称,得到y＝f［-(x-1)］,即y＝f(1-x).还选B.
　　 生4：这样做还快些,即由于f(x-1)＝f(1-x),因此,y＝f(x-1)与y＝f(1-x)的图象关于直线x＝-1+12对称.又是选B.
　　 生5：我认为选B不对,我们说y＝f(x)与y＝f(-x)的图象关于y轴对称,即关于直线x＝0对称,类比可知y＝f(x-1)与y＝f［-(x-1)］的图象关于直线x-1＝0对称,即关于直线x＝1对称.故应选D.
　　 师：好一个“类比”,答案正确,加10分(学生们会心一笑)!由于平移理解错了,
　　 生1确实犯了“方向”性错误,生 2又错在哪里,有没有走上“正道”的办法呢？
　　 生2：有!听了生5的发言,我知道了选B的错误在于：将y＝f(x)与y＝f(-x)的图象都向右平移1个单位后,未注意到对称轴(即直线x=0)已被直线x-1=0“替换”了,是应选D.
　　 师：这样理解就对了!这说明不能机械地照搬(图象变换的)法则,而应弄清(图象变换的)实质!谁说说生3的错误在何处、生4的错误在哪里？
　　 生1：生2和生3的错误类似――第二步应作y＝f(x-1)的图象关于直线x-1＝0对称,即关于直线x=1对称,生4的错因在于增加了f(x-1)＝f(1-x)这一条件!
　　 生6：用生4的想法(但不能增加条件)也可走上“正道”――注意到y=f(x)与y=f(2a-x)的图象关于直线x=a对称,可知y=f(x-1)与y=f(1-x)的图象关于直线x-1＝1-x对称.故选D.
　　 反思：(师生共同)这道题较有新意,是一个没有给出函数解析式的有关函数图象的对称问题,实际考查了三种图象变换(平移、对称、伸缩)中最重要的两种.关于平移,既要搞清平移的方向,更要明确是对于点(x,y)的一个坐标而言的!关于对称,除了要搞清点对称的图象、表达式,要记住一些关于特殊轴(如坐标轴、直线x=a、y=b等)对称的表达式、图象外,要特别小心自对称与互对称的区别与联系,两者虽都是对称,但前者是一个图象的特点,后者是两个图象之间的关系,前者的对称轴可用求中点法而得,后者则需视具体情况而定,两者有本质的不同,就本题而言,初看是一个函数的图象,其实不然,它是由一个函数派生出来的两个函数的图象,其对称轴是通过解方程x-1＝1-x而求得的.
　　 面对学生出现的错误,教师不是急于给出标准答案,不是代替学生思考,而是有针对性地组织学生思维对话,使学生得到了多个答案,他们俨然变成了一个个小小的数学家、发明家.解题错误的阴影不仅轻轻地从头脑中挥去,而且学生的认知水平得到提高,他们对探索数学的兴趣也与日俱增．
　　 综合所述,真正的思维对话强调的是内在的精神实质.这里的精神实质有两重含义：一是思维对话必须以“我”、“你’之间有无精神上的相互交流与回应为特征；二是思维对话必须体现主体平等,互相尊重,彼此评判,共享智识,讲究实效等精神特质.这两种含义构成了真正思维对话的核心,其中前者建立在后者的基础上.在思维对话中,教师扮演的角色应该是：1.提出能激发和促进学生数学思考的问题；2.仔细倾听学生的想法；3.要求学生口头或书面阐明和证实自己的想法；4.决定在学生讨论中所产生的哪些想法应该深入跟踪；5.决定何时、怎样将数学概念及数学语言与学生的想法进行整合；6.决定何时提供信息、何时阐明某一个问题、何时模型化、何时引导、何时让学生自己与困难抗争；7.监督学生的讨论,决定何时、怎样鼓励每一位学生参与到真正的言语互动中来等.学生扮演的角色应该是：1.聆听、回答问题；2.用不同的工具去推理、联结、解决问题和交流；3.引发问题和提出问题；4.产生猜想,用正例或反例探索猜想,并试着给出解答；5.试着就某些特殊的表征、解答、猜想和答案的有效性说服他人；6.依靠数学证据和观点去确定问题的有效性等.从而达到“思维对话”的价值――发展学生的思维(情感)能力,提高学生的思维(情感)水平；沟通心灵,融合关系,增强师生、生生凝聚力、向心力,培养团结互助的精神、情感和习惯.
　　
　　参考文献
　　［1］ 赵绪昌.试论问题情境及其创设「J」.中学数学教育,2004(6)：23―25.
　　［2］ 张松年.把学习过程中的思维空间让给学生［J］.中学数学教学参考(上旬),2009(10)：12―14.
　　［3］ 花 奎.直面“价值缺失”,呼唤“本真回归”――谈数学课堂教学情境创设的误区及对策［J］.数学教学研究(兰州),2008(7)：14-17.
　　［4］ 谢全苗.新课程理念下的数学示错教学［J］.中学数学教学参考(上旬),2008(4)：10―13.
　　［5］ 吴运通,何瑞武.一堂数列课里的预设与生成［J］.数学通报,2010(8)：21―22和27.
　　
　　 作者简介 赵绪昌(1963-)男,主任,四川宣汉人, 中学特级教师,四川省学术和技术带头人,苏步青数学教育奖和国务院政府特殊津贴获得者,主要从事中学数学教学研究和中小学教育科学研究．

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