释《不同的解法,不同的结论》之疑|危疑未释
时间：2019-05-03 03:19:15 来源：雅意学习网 本文已影响 人 
《中小学数学》2012年第1、2期刊出湖北周矶中学杨军老师所撰《不同的解法 不同的结论》，文中提出两个疑义，指出一道二次函数综合题在求解（2）②时出现四个不同结论，求教各位专家。该题如下：
如图，在平面直角坐标系xOy中 ，已知抛物线y=-x2+x+4与y轴相交于点B，与x轴相交于A、C两点。
⑴求A、B、C三点的坐标；
⑵已知有一个动点从点A沿线段AC以每秒1个单位长度的速度移动；同时另一动点Q以同一速度从点B沿线段BC移动，当其中一个点到达端点时，另一个动点也随之停止，设运动时间为t秒。
①探究：是否存在t的值，使得△PQC为等腰三角形，
若存在，求出所有可能的t的值；若不存在，说明理由。
②D在线段AC上，且AD=AB，若线段PQ被BD垂直平分，求t的值。
因邮局遗失我所订该期杂志，待由杂志社寄来才开始拜读所刊各文。阅毕此文之后，立即进行了演算。原来问题出现在（2）②中D既要满足在AC上，且AD=AB，又要满足BD垂直平分PQ，由此又有BP=BQ=AP（连结BP）。通常图形中一个确定的点或线，只能满足一个条件，如果它同时满足另一个条件，这是需要通过证明，以保证应满足的诸条件之间是相容的而不是矛盾的。试看本题中诸条件是否相容？
由已知易知OD=5-3=2，BO=4,∴∠DBO=arctan≈26°34′
∴∠CBD≈45°- 26°34′=18°26′
∵AD=AB, ∴∠ABD =∠ADB=(180°- ∠BAD )=(180°- arctan)
又∵AP=BP, ∴∠ABP=∠BAP= arctan
∴∠PBD=∠ABD-∠ABP=90°-arctan≈10°18′
显然，∠CBD≠∠PBD, ∴此时BD不可能垂直平分PQ。
由此说明题中诸条件并不相容，这是造成同一问题出现四个不同结论的原因所在。
目前，此类问题并非少见，甚至教科书中也屡次出现，略举两例。
例1（浙教版《数学》七年级上册有理数的乘法例3）
某校体育器材室共有60个篮球，一天课外活动，有3个班级分别计划借篮球总数的、和，请你算一算，这60个篮球够借吗？如果够了，还多几个篮球？如果不够，还缺几个？
该教科书给出的解答是:不够，还缺5个。
其实本题既是错题又是错解。
显然，各班所借篮球总数不可能超过体育器材室的篮球总数，但++=＞1。
故属错题，按原解器材室再增加5个篮球，则65个就能按题中要求借给各班吗？显然仍不可能。
例2（北师大版《数学》八年级下相似三角形 例2）
如图,已知△ABC∽△ADE, AE=50 cm, EC=30 cm,
BC=70cm, ∠BAC=45°,∠ACB=40°，求
（1）∠AED和∠ADE的度数;
（2）DE的长。
本题条件也互相矛盾，由AC=AE+EC=50+30=80(cm),
BC=70cm, ∠ACB=40°,△ABC已经完全确定,从而∠BAC也完全确定，
且tan∠BAC=≈1.706。
∴∠BAC≈59°37′。
这显然与题设条件∠BAC=45°矛盾。
（作者单位：浙江省余姚子陵中学
浙江省余姚实验学校）
