[利用线性规划巧解常见的最值问题]线性规划巧解不画图

时间：2019-02-08 03:15:18　来源：雅意学习网本文已影响人

　　在高中数学学习中求最值问题或范围问题是考试常见的题型，有时也是学生难以解决的问题，利用线性规划的知识解决此类问题可以避免学生常犯的一些错误.下面就几种常见的题型进行探讨.
　　题型一：若变量x、y满足约束条件y≤1x+y≥0x-y-2≤0，
　　则z＝x－2y的最大值为?摇 ?摇.
　　分析：作出可行域如图1所示．
　　作直线l：x－2y＝0.
　　当把l平移到l的位置时，此时过点A（1，－1），z的值最大，且z＝1－2×（－1）＝3.
　　若z＝x－2y+5又如何解决？
　　题型二：设变量x，y满足约束条件x-y≥-1x+y≥12x-y≤1，
　　则目标函数z＝的值域为?摇 ?摇．
　　分析：作出可行域如图2所示.
　　目标函数z表示可行域内的点p（x，y）与固定点（-1，-1）之间的斜率的取值范围，求出两交点坐标，并求出点p与两交点的斜率，得出：≤z≤2.
　　若z=，如何求z的取值范围？
　　题型三：已知点M（x，y）满足条件x-y+2≥0x+y-4≥02x-y-5≤0，
　　点N（x，y）满足x＋y－10y＋23≤0，
　　则|MN|的最小值为?摇 ?摇．
　　分析：如图3，画出不等式组表示的可行域，而由x＋y－10y＋23＝x＋（y－5）－2≤0，得x＋（y－5）≤2，该不等式表示以C（0，5）为圆心，为半径的圆及其内部，故点N在圆上或其内部．由图3可知，圆心C到平面区域（阴影三角形）的最小值为点C到直线x－y＋2＝0的距离d＝＝，故|MN|的最小值为d
　　若在此题中，目标函数z=x＋y+2x＋2y的最值如何求？
　　在不等式性质的应用中有这样一道题：
　　设f（x）=ax+bx，且1≤f（-1）≤2，2≤f（1）≤4，求f（-2）的取值范围.
　　学生常出现如下的错解：由1≤f（-1）≤22≤f（1）≤4，得1≤a-b≤22≤a+b≤4，得1.5≤a≤30≤b≤1.5，
　　所以3≤f（-2）=4a-2b≤12.
　　错在哪里？学生看不出，其实这样多次运用同向不等式相加，导致范围扩大，要引起学生足够重视.
　　正确分析:f（-1）=a-b，f（1）=a+b，把a-b和a+b看做整体去处理，将f（-2）用a-b和a+b表示，正确解法如下：
　　令f（-2）=mf（-1）+nf（1），
　　即4a-2b=m（a-b）+n（a+b），
　　得m=3，n=1，所以f（-2）=3，f（-1）+f（1），而3≤3f（-1）≤6，2≤f（1）≤4，
　　所以5≤3f（-1）+f（1）≤10，即5≤f（-2）≤10.
　　这种纯代数的方法个别学生始终难以理解，此类问题造成了学生的巨大心理压力，但学了线性规划后，利用线性规划的知识解决此类问题学生就能得心应手，找到自信.若用线性规划的方法解决这道题，上述问题可转化为：
　　已知约束条件：1≤a-b≤22≤a+b≤4，求目标函数z=4a-2b的最大值和最小值问题就很简单了.
　　变式练习：已知f（x）=ax+c，满足-4≤f（1）≤-1，-1≤f（2）≤5，求f（3）的取值范围.
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