定积分简单计算例题 [高职数学中定积分概念教学的实践与思考]

时间：2019-02-02 03:25:21　来源：雅意学习网本文已影响人

　　摘要：定积分的概念是微积分中的一个重要概念，高职院校的学生一般不容易掌握，作者通过提前预备、实例引入、分析概括、概念剖析、几何直观、巩固练习等环节的教学实践，达到既让学生学会知识，又培养学生能力的目的。
　　关键词：高职数学定积分概念数学
　　
　　《应用数学》是高职院校许多专业开设的一门重要基础课，对后续专业课的学习及今后的发展都具有重要的意义。其中定积分的概念又是《应用数学》中微积分部分的一个重要概念。若学生对定积分的概念不能正确理解，必将影响到积分理论及相关专业课的学习。然而由于高数知识不像文史类知识那样有生动的语言和灵活的想象空间，因此学生学习起来往往提不起兴趣，久而久之产生厌学情绪。解决这一问题的关键是教师能否在数学与现实之间架设一座桥梁，让学生从现实走进数学，也让学生从数学走进现实［１］。我根据自己多年的教学实践，谈谈定积分概念教学中的一些尝试。
　　一、提前预备，做好铺垫［2］
　　定积分的概念冗长而抽象，由于高职学生普遍基础较差，他们一看到数学中文字较长的问题就头晕，因此很难理解定积分的概念。鉴于此，我们可以在讲课之前提出问题：如何知道一片树叶一面的面积？学生的回答一般是网格法，即将树叶盖住有方格的纸片，然后用铅笔画出其边界，数数边界内方格的个数，边界部分对应的方格四舍五入，就可知道树叶的大概面积，网格越密测得面积越精确。进而引导学生深入讨论：①网格无限密会怎样？②“有限”与“无限”的区别？③能否用“线型法”（即用n条等距的平行直线分割树叶）测得树叶的面积？通过这类问题的讨论，为定积分概念的实例――曲边梯形的面积问题的解决打下了良好的基础。
　　二、实例引入，注重方法
　　引入定积分概念的实例较多，常见的有“曲边梯形的面积”、“变速直线运动的路程”等［3］。对“曲边梯形的面积问题”可着重分析：①任意曲线围成的图形面积只要坐标系选取适当，都可转化为曲边梯形的面积来求；②底边大的曲边梯形的面积无法直接求出，底边小的呢？底边小的曲边梯形由于其高度变化不大，面积可近似地用矩形面积代替，于是自然想到了将底边大的曲边梯形分割成底边小的曲边梯形；③每个小的曲边梯形面积都用矩形面积近似代替；④将各个小曲边梯形面积相加即得到曲边梯形面积的近似值；⑤想得到精确值只有无限细分――极限的处理办法。具体来说，曲边梯形面积可分以下四步完成：分割、近似、求和、取极限。对引例“变速直线运动的路程”问题则以启发为主，与学生一起进行简单的分析，引导学生得出类似的结论。在讲解与分析过程中，强调“曲”与“直”、“变”与“不变”的转化，使学生在学习过程中充分体会极限的思想与方法。讲完两实例后，可以要求学生思考：在生活与实际工作中，你还能找出哪些问题与上述问题类似？
　　三、分析概括，抽象定义
　　通过两个实例的分析讲解，我引导学生抛开问题的实际意义，仅从数学的角度出发找出它们的共性，并从共性中得出定义。
　　①问题的本质是一样的，都是在一定范围内求整体量问题；
　　②解决问题的方法是一样的，都涉及“整”化“零”、“直”代“曲”、“不变”代“变”；
　　③处理的步骤是一样的，分“分割、近似、求和、取极限”四步；
　　④所得结论一致：特殊形式的“和式极限”。
　　四、剖析概念，领会本质
　　定积分的概念叙述较长，学生不易理解，因此在引出定积分的概念之后，应对定积分的概念作必要的解释：定积分是一个特殊的极限值，与不定积分完全不同；极限值的唯一性说明定积分的值是唯一确定的，与区间的分法及每个区间中变量的取法无关；定积分的值仅与区间及函数有关，所以积分f（x）dx与积分f（t）dt相等。
　　五、几何意义，解释直观
　　每个定积分表达式，无论其实际意义是什么，都可从几何方面作出解释，介绍定积分的几何意义时，先从引例“曲边梯形的面积”谈起，学生很容易知道：当被积函数f（x）≥0时，定积分f（x）dx表示由曲线y=f（x）及直线x=a，x=b，x轴围成图形的面积，进而引导学生分析得出当f（x）≤0及f（x）有时正有时负时定积分f（x）dx的几何意义，并要求学生练习与定积分几何意义相关的一些问题。
　　六、课后练习，巩固概念
　　为了加深对定积分概念的理解，一般在讲完定积的概念与几何意义之后，可安排一定的练习，如：①求曲线y=x及直线x=1，x轴围成图形的面积；②用几何意义求（2x+1）dx.通过练习，进一步加深学生对定积分定义及几何意义的理解。
　　以上是我们在定积分的概念教学中作的一些尝试，在教学过程中如果能借助多媒体，对“分割、近似、求各、取极限”的过程以动画演示，会取得更好的效果。我们还发现，在定积分概念的教学过程中，学生除了能学到必需的数学知识外，还可对学生进行辩证唯物主义的思想教育。以变速直线运动的路程问题为例，首先，求和后得到的路程是近似值，一旦取极限后就转化为精确值，这一变化体现了从“量变”到“质变”的过程；其次，“变”和“不变”本来是对立的，但在无限小的条件下，两者变成一回事了，这体现了两者既对立又统一；最后，定积分的概念是从特殊问题中抽象出来的，而这类问题又普遍存在，说明普遍性存在于特殊性之中。
　　
　　参考文献：
　　［1］曹广福，叶瑞芬.微积分教学中如何处理积分理论［J］.高等数学研究，2008，（6）：10-12.
　　［2］林汉燕.抓好概念教学的三个环节，提高教学质量［J］.工科数学，2002，18，（4）：55-58.
　　［3］同济大学数学系.高等数学［M］.北京：高等教育出版社，2007，（第5版）.
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