【对中学数学中特殊化思想方法的认识】中学数学公式大全

时间：2019-01-29 03:30:28　来源：雅意学习网本文已影响人

　　一、特殊化及其哲学基础　　1.特殊化思想方法　　所谓特殊化思想方法，它是将思考的对象从一般转到特殊的一种思想方法。波利亚曾说过：“特殊化是从考虑一组给定的对象集合过渡到考虑该集合的一个较小子集或仅仅一个对象。”在社会科学中，特殊化方法又被称为“解剖麻雀”的方法。
　　对于特殊化方法，希尔伯特(Hilbert，1862―1943)曾说：“在讨论数学问题时，我相信特殊化比一般化起着更为重要的作用，我们寻找一个问题的答案而未能获得成功的原因就在于这样的事实，即有一些比手头题目更简单，更容易的问题没有完全解决，或是完全没有解决，这一切都有赖于找出这些比较容易的问题，并用尽可能完善的方法和能够推广的概念来解决它们。”
　　特殊化思想方法的哲学基础是矛盾的普遍性寓于特殊性之中。
　　2.特殊化思想方法在解决数学问题中具有十分重要的作用
　　梅森（J.Mason）曾经指出：“第一，只有通过特殊化方法我们才能很好地了解所面临的问题；第二，只有通过特殊化方法我们才能认识导致一般化的模式；第三，对于所得出的一般结论我们又必须借助进一步的特殊化去进行检验。”根据特殊化方法的这三方面的作用又可以进一步得出解决问题的一般策略，这就是：第一，由随意的特殊化，去了解问题；第二由系统的特殊化，为一般化提供基础；第三，由巧妙的特殊化，对一般结论进行检验。
　　二、中学数学中的特殊化思想方法
　　在中学数学中，特殊化思想方法按照其从低到高的发展顺序大体上可以分为三个层次，即特殊值方法、特殊化方法和数理统计思想方法。从特殊值方法到特殊化方法再到数理统计思想的实质都是由个别向一般的一种推理，某种程度上来说，它们都属于特殊化思想方法范畴，反映了特殊化思想方法的发展和演变过程。
　　1.特殊值方法
　　所谓特殊值方法是从问题的反面去进行考虑的一种思维方法，它的理论基础是逻辑学中德・摩根律运用。即一个若命题在特殊情形下为假，那么它在一般情形下也为假，就其方法本身来说，它是一种逻辑的方法。中学数学中经常运用的特殊值、特殊点、特殊函数、特殊图形等均可以认为是这里的特殊值。它通常适用于对错误命题的否定，如举反例，在解选择题时，为了充分利用选择支所提供的信息，可以根据题目的特性，不失一般的选取一些满足题目要求的特例（如特殊值，特殊点，特殊图形，特殊集合等）对各选择支进行检验，然后再结合其他方法进行筛选，达到迅速排除错误答案，获取正确的目的。
　　例1（1999年全国高考试题）函数f（x）=Msin（?棕x+?鬃）（?棕>0）在区间［a，b］上是增函数，且f（a）=-M，f（b）=M则函数g（x）=Mcos（?棕x+?鬃）在［a，b］上是：
　　（A）增函数（B）减函数
　　（C）可以取得最大值M
　　（D）可以取得最小值-M
　　解：对于选择题，重要的不是按部就班地进行推理，而是要根据题目的条件作出快速判断。既然条件中对函数f（x）=Msin（?棕x+?鬃）（?棕>0）与区间［a，b］并没有特别限制，可以取?棕=1，?鬃=0，a=-，b=，由g(x)=Mcos?棕x，x∈［-，］的图象可以知道只有C符合条件。
　　2.特殊化方法
　　特殊化方法是从特殊的个别去推断整体的性质，尽管这里的个别相对于整体来说是特殊的，但这里的个别相对于其他的个别来说又具有特殊性，可以说它是特殊中的特殊，它的要害就是要抓住那些起关键作用的特殊个别，并以此作为突破口去发现规律和寻找思路。这里的特殊可以是特殊的对象、特殊的情形（如简单情形、极端情形）也可以是特殊的角度、特殊的信息等等。特殊化方法是一种探索发现的方法，通过特殊化方法往往可以发现某种规律或解决问题的方法。常见的特殊化方法有以退为进方法、逐步调整法、极端方法等。但需要注意的是通过特殊化思想方法所发现规律的可靠性往往较差，一般还需要借助其他方法来进行判断。
　　例2已知：△ABC的底边BC=及其上的高ha均为定值，问什么时候这个三角形的三条高的乘积hahbhc取最大值？
　　分析：考虑极端情形，首先猜想：
　　（1）当△ABC为等腰三角形时，hahbhc最大。
　　（2）当∠BAC=90°时，hahbhc最大。
　　Qa，ha为定值
　　∴△ABC的面积S也为定值。
　　从而问题就转化为判断hbhc何时取最大值。
　　由于hb=，hc=
　　因此，问题又转化为判断bc何时取最小值的问题。
　　QS=bcsinA
　　∴bc=
　　这样，问题又归结为求sinA的最大值问题。
　　证明：
　　（1）当ha≤时，以BC为直径的圆与l有公共点，这时∠BAC可取到最大值９０°，并且有hahbhc最大。
　　（2）当ha＞时，由于以BC为直径的圆与l（l为过A点且平行于BC的直线）没有公共点，故∠BAC不可能取到９０°，这时∠BAC的最大值在AB=AC时取到，故有hahbhc在AB=AC时最大。
　　3.数理统计思想方法
　　数理统计思想方法是一种广义的特殊化思想方法（尽管目前还没有发现有人将它归入特殊化方法，但从其思想发展脉络来看，数理统计思想方法无疑应该属于特殊化思想方法）。数理统计的基本思想是通过对样本的分析来推断总体的特性，它是从典型的个别去推断整体的性质，与特殊化方法相比，它更强调个别的代表性（或典型性）和广泛性，它主要谋求事物性质和规律的发现，与特殊化方法所不同的是，运用数理统计方法所发现的规律的可靠程度比特殊化方法要大大提高，运用数理统计方法所发现的规律与理论结果往往比较接近，如果说运用特殊化方法所获得的结论与理论结果的差别主要体现在质上，那么运用数理统计方法所获得的结论与理论结果的差别则主要体现在量上。另外，在对所获得的结论的可靠性的判断方法上，数理统计方法与特殊化方法之间也存在着很大的不同，特殊化方法主要是通过证明来判断结论的可靠性，其方法和结果都是确定的。而数理统计方法则要通过统计检验的方法来判断结论的可靠性，其方法和结果是依概率的，是不确定的。
　　比如：“一个家庭中有2个小孩，其中有一个是女孩，那么另一个小孩也是女孩的概率是多大？”，“在有6个孩子的家庭中，次序男、男、男、女、女、女；男、女、男、女、男、女；男、男、女、男、女、女；女、女、男、女、男、男，哪一种出现的可能性大？”等问题，虽然特定事件不能预测，但结果的规律却可以预测，这个必然的规律或许与我们的直觉相反，但是经过长期的接触，思维结构达到质的飞跃，预测最终会上升为数学直觉的判断，学生的统计观念也可以得到相应的提高。正如拉普拉斯所说：“虽然它（概率统计）是从考虑某一低级的赌博开始，但它却已成为人类知识中最重要的领域。……生活中最重要的问题绝大多数在实质上是概率问题。”因此，当概率统计在中学数学中逐步扮演重要角色的时候，研究它的教学，研究如何提高学生的随机性数学意识，应该成为数学教育工作者研究的课题。
　　三、对特殊化思想方法的进一步认识
　　特殊化思想方法是中学数学中的一种十分重要的思想方法，但学生在义务教育阶段所接触的主要是一些初级的、基本的特殊化思想方法，如特殊值方法、以退为进方法、逐步调整法等具体思想方法，基本上局限在方法的层次，它所解决的仅仅是对解题技巧的改进。而在高中阶段的概率与统计中所接触的数理统计方法则是真正意义上的特殊化思想方法，它主要是从思想层次来把握，可以说数理统计方法从根本上来说就是一种特殊化思想方法，它是通过对特殊事物的认识来获得一般性结论的一种思维方法，它的最重要价值就在于要将人工思维转化为机械运算，充分减轻人脑的负担，这是在我们过去的认识中很少注意到的地方。因此，我们对特殊化思想方法的认识不应该仅仅停留于具体的解题方法的层面（目前，网上公布的五十多篇有关论文中绝大多数都是谈解题的），而应该上升到数学思想的层面，应该从知识的内在联系和发展过程中全面把握特殊化思想方法的演变过程。这样，不仅有助于学生深入领会特殊化思想方法，而且可以使学生从数学思想的高度更好地认识统计的本质。
　　
　　作者单位：
　　江苏南通二中
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