趣味数学100题目和解答【数形结合思想在高中数学中的应用】

时间：2019-01-08 03:17:51　来源：雅意学习网本文已影响人

　　数形结合是一个数学思想方法，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：或者是借助形的生动性和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数为目的，比如应用函数的图像来直观地说明函数的性质；或者是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质。
　　“数学是研究现实世界的量的关系与空间形式的科学”。数形结合就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义，又揭示其几何直观，使数量关系的精确刻划与空间形式的直观形象巧妙、和谐地结合在一起，充分利用这种结合，寻找解题思路，使问题化难为易、化繁为简，从而得到解决。“数”与“形”是一对矛盾，宇宙间万物无不是“数”和“形”的矛盾的统一。华罗庚先生说过：数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休。
　　数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化。在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义，以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围。
　　我就常见的几种数形结合解决问题以案例形式给出，以供参考。
　　案例1：已知x+y=1，求x+y的最小值。
　　分析：因为已知条件和所求函数式都具有解析几何常见方程的特点，故可得到用解析法求解的启发。
　　解：如图1，x+y=1表示直线l，x+y表示原点到直线l上的点P(x,y)的距离的平方。显然其中以原点到直线l的距离最短。
　　此时，d==,即()=。
　　所以x+y的最小值为。
　　注：如果设x+y=z,则问题还可转化为直线x+y=1与圆x+y=z有交点时，半径的最小值。
　　案例2：已知a+b=1,x+y=1，求证：ax+by≤1。
　　分析：数形结合法：由于条件x+y=1可看作是以原点为圆心，半径为1的单位圆，而ax+by=，结合点到直线距离公式，可得下面证法。
　　证明：如图2,因为直线l:ax+by=0经过圆x+y=1的圆心O，所以圆上任意一点M(x,y)到直线ax+by=0的距离都小于或等于圆半径1，
　　即d==|ax+by|≤1?圯ax+by≤1。
　　案例3：若方程lg（－x＋3x－m）＝lg（3－x）在x∈（0，3）内有唯一解，求实数m的取值范围。
　　分析：将对数方程进行等价变形，转化为一元二次方程在某个范围内有实解的问题，再利用二次函数的图像进行解决。
　　解：原方程变形为3-x＞0-x+3x-m=3-x
　　即：3-x＞0(x-2)=1-m
　　设曲线y＝（x－2），x∈（0，3）和直线y＝1－m，图像如图3所示。由图可知：
　　①当1－m＝0时，有唯一解，m＝1;
　　②当1≤1－m 本文为全文原貌未安装PDF浏览器用户请先下载安装原版全文

推荐访问:学中思想高中数

趣味数学100题目和解答【数形结合思想在高中数学中的应用】

最新文章

热门文章