【文科类高等数学课教学中的数学语言教育】高等数学上册教学视频
时间：2019-01-13 03:18:28 来源：雅意学习网 本文已影响 人 
数学语言作为一种科学语言，它的基本特征是：一是准确性。数学语言可以摆脱日常用语(自然语言)的多义性与歧义性，表达准确无误，不易别解；二是简约性。数学语言历经了几千年的发展，逐渐演化一整套符号语言，表达形式简练而又确切，便于人们进行量的比较与判断；三是形式抽象化。也正是由于数学语言变得越来越简约，因而也就越来越形式化，越来越抽象。试想
这样的记法把导数的意义全部涵盖在里边。若用自然语言表述需要多少句话呢?以上特征使得数学语言一方面描述与刻画客观世界的自然现象与社会现象变得越来越精确与简洁；另一方面又使得它在发现科学真理方面显示了巨大的威力。麦克斯韦通过建立麦克斯韦方程组预测电磁场的存在，就是一个典型的例子。近年来，“数学语言还以其特有的精确性、简洁性、逻辑性和抽象性为社会科学语言注入活力，并逐步成为社会科学语言中重要的组成部分。各种数学概念、术语、公式、算法、程序正被社会科学工作者得心应手地使用着。现在数学的语言，从控制论到几何学，从微分几何到统计学，已经渗透到了现代社会各个信息系统中去。”
目前，许多文科专业都开设了高等数学课程。一方面，由于数学语言在社会科学中的重要性，迫使我们在从事文科数学教学时，特别关注数学语言的教育，这也正是文科专业开设文科高等数学课程的目的之一，另一方面，也正是由于数学语言具有前述的一些特征，因此，它在培养文科学生素质方面起着至关重要的作用。此外，数学教育心理学的研究还表明学生的数学学习是和学生数学语言的发展水平紧密相连的，“数学思维的发展是离不开数学语言的同步发展的”，教学实践也表明，数学语言发展水平低的学生的数学理解力也差，理解问题常常发生困难和错误。以上三方面的原因使得我们应特别重视文科高数教学中的数学语言教育。笔者近几年一直从事文科高等数学的教学，在这方面做了一些有益的尝试，收到了良好的效果。
一.强调数学语言的重要性，加强使用数学语言的意识
经历了十多年的中小学数学教育，大学生们已积累了一定的数学语言基础，然而，中小学数学教育中，应试占主要地位。以解题为中心的数学活动，或多或少地淡化了数学语言教育，我曾多次与他们交流，让他们谈谈对数学语言的感受，他们大都认为“因为――所以”就是数学语言或者认为数学语言就是符号。这证明他们对数学语言的理解仅停留在低层次上，并不知道它的特征、意义和作用。初等数学与高等数学是一脉相承的，只是高数的内容更抽象、更复杂一些。因而在数学语言方面就显得更形式化一些。我们作为高数的教育者，应把高数教育看做是对文科学生进行数学语言教育的契机。应在这样一门课程中，让他们得到一次提升与凝练，所以我们在每一节中都可以追求数学语言教育，不断地向他们灌输数学语言的重要性，有意识地揭示数学语言的特征，强化他们对它的认识。我反复向他们讲“全部的数学可以概括为两件事，一是如何使描述与刻画自然或社会现象的语言变得简练；二是如何使改造自然或社会的方法变得更简洁。”数学家一直朝这两个方面努力，前者就是数学语言的生成、使用与发展；后者则是数学知识方法的创新与应用。而前者显然是后者的基础，在高数教学中，要让学生感受到数学语言的力量，它的形式化、它的简约性、它所涵盖的信息量是任何其他语言所不能替代的。诗歌虽然也是一种浓缩的语言，它也具备精炼、简洁、深刻等特点，它所表达的意义非常丰富，但它还不能与数学语言相比较，因为数学语言的最重要特征――准确性是诗歌所不具备的。在公式(a+b)2=a2+2ab+b2中，a、b是形式化的，可以是任何数、任何式，甚至可以是桌椅、板凳，但它所表达的关系是永恒不变的。[f(x)g(x)]=f(x)g(x)+f(x)g’(x)中的函数是可以变的，但这个等式是永恒的，诗歌则不同，同样一首诗，不同人读可能有不同的理解，不同的感受，所有这些都需要教者在教学中不失时机地揭示出来。任何一种文化交流活动都要受相应的文化规则制约的，都要涉及相应的文化背景，数学教学在本质上也是教师与学生之间、师生与数学之间的交流、交往的过程，给文科专业的学生讲授高等数学，就要考虑到文科专业的特点，要经常把文学、诗歌、艺术、音乐、财经等方面的知识联系起来，并将其数学语言化，或与数学语言作对比，使他们感受数学语言的力量，学会使用数学语言，从而学会利用数学思维思考问题，解决问题，这才真正达到了文科专业开设高等数学的目的。
二.将数学语言教育落实到每一节课中
语言教育是需要时间和环境的，一年的高数教学，如果把数学语言教育做好，对学生的影响是巨大的。关键是我们能否将其落实到每一节课中。因为每一节的数学知识都要用数学语言表述，反过来又可把每一节的数学知识看作是数学语言的载体，所以数学语言教育应落实到每一节课，落实到每一个知识点上。我们既要考虑整体课程中的数学语言教育，又要关注具体每一节课中的数学语言教学设计，下面是我讲“连续”一节中的有关数学语言教学设计片段，可供大家参考：
师：“连续”是我们经常提到的一个词，谁能举出几个“连续”的例子?
生1：“人群连续不断地进入教室”。
生2：“水龙头连续不断地流水”。
生3：“我连续好几天没睡好觉”。
生4：“教室里这根电线是连续不断的”。
生5：“我们在中学里学的一次函数，二次函数图像是连续不断的曲线”。
师：“好!大家举的例子都很生动具体，但以上例子中的连续都是一样的吗?有什么区别?我们能否将这些例子做一下分类，那些例子更相近呢?它们的特征是什么呢?”
生2：“我觉得我举的水龙头连续不断地流水与电线连续不断以及抛物线图像很相近，他们都可画出连续不断的曲线”。
生1：“连续不断的人群与电线连续不断是不一样的。人群无论怎样连续也是有缝隙的，但电线则不同，哦!我知道了它们可分成两类，一类是都能用连续不断的曲线表示；另一类可用一些较为密集的点表示。”
师：“看来大家已经发现了平时我们平时所说的‘连续’，尽管用的是同一个词，但意义并不同。今天我们就来讲数学上的‘连续’。数学中的‘连续’正是来源于现实世界的各种连续现象，但把它抽象了，抽象出共同的特征加以定义，加以研究，并加以应用。让我们先来看两个函数对应曲线上在某一点处附近的特征……
以下开始通过比较连续与间断特征，进一步抽象出连续的定义。
通过上例可以看出，数学语言其实也不过是自然语言的细致化，精微化，它与自然语言有密切相关的联系。教学时，可将两者联系起来，并做对比，会使学生容易接受，并且在受到数学语言教育的同时，发现自然语言的一些弱点，更增强他们使用数学语言的信心。
该例子也从另一个角度告诉我们，尽管高数中的大量概念都是以逻辑定义方式给出的。这似乎让教者一定用概念同 化的方式讲授概念，从概念到概念，完全是抽象的。学生也是不易接受的，文科的学生往往形象思维发达，我们可以利用大量生活的例子或他们已学过的知识利用概念形成的方式来讲授数学概念。其效果非常好。高等数学中大量的概念如导数、定积分、微分、偏导数、全微分、多重积分等，都可通过这种方式学习，数学语言的学习不是一蹴而就的，做教师的要持之以恒，把数学语言学习看做是一项系统工程，把它落实到每一节课。
三.设计教学策略，让学生参与到数学语言的学习中来
教师普遍反映，文科高数课不好上，学生基础差，上课不爱听，考试成绩不理想。甚至出现了不愿接手文科课的现象，认为费力不讨好。我个人认为这不只是学生方面的因素，重要的还在于教师。作为教者，首先是否认真研究了文科学生的特点，是否认真研究了文科教学要达到的目标，是否认真的研究了文科教材的特点。其次是否根据以上的研究做了教学法上的研究。教师是否调动了可调动的一切因素，是否强调了学生学习的主体性，是否精心地设计了教学策略，以提高教学效率。当教学目标编制好以后，就需要根据一定的教学任务和学生的特点，有针对性地选择与组合相关的教学内容、教学组织形式、教学方法和技术，形成具有效率意义的教学方案，这就是教学策略。文科学生思维活跃，他们好说好动，乐于接受新知识，学习的自主性很强，这就为我们设计教学策略提供了一个良好的人文环境。在教学中我们要充分发挥他们学习的主体性，引导组织学生的学习活动，使他们真正地参与到教学活动中来，“用内心的体验与感受去学习”。如在学习函数极限概念时，自变量的变化趋势有好几种类型，但在对问题的刻画以及语言的叙述方式上基本上是一样的，这给我们提供了非常好的数学语言学习的契机，首先在前面已讲过了数列极限的概念，他们或多或少掌握了这种定义方式，但还不习惯，还不能完全理解定义的要义，特别是落实到用和来刻画时，还感到别扭，所以，要先复习一下数列极限的定义，强调这种语言叙述方式的关键所在，然后，通过类比的方式重点讲第一种类型，即当趋于无穷大时的极限，在充分感受和理解的情况下，剩下的几种类型，如x趋于正无穷大和负无穷大这两种单侧类型、x趋于有限值时的极限等等，循循善诱，启发诱导，教师与学生共同完成概念的定义，问学生应该如何定义，让他们尝试使用刚刚学过的定义方式去定义，刚开始他们不愿去做，也说不好，甚至有抵触情绪，他们认为定义就是书中的事，讲明白是你老师的事，与我们学生有什么关系。作为教师，要想办法转变学生的观念，要让他们知道教学就是师生共同完成学习任务的过程，数学是“做会的”而不是“听会的”，对他们要进行鼓励和赏识，并告诉他们课堂上的参与度也要记入平时的考核之中(当然，这种过程性评价要与教学管理部门沟通，得到他们的支持)，时间一长，慢慢的就好了，同学们也逐渐地习惯了，课堂上甚至出现争先恐后的现象，真正做到了由“要我学”到“我要学”的转变。细究起来，这主要还是他们在这种学习方式中，从中受益了。由此可见，精心设计教学策略，使学生真正进入角色，从而在老师的帮助下，自己构建数学知识，完成数学语言与知识的学习是多么的重要。
四.言传身教、严格要求，全方位地进行数学语言教育
作为教师要对数学语言有较深入的理解，必要的话还应对其有一定的研究，只有这样才能了解数学语言的发展演变过程，知晓数学语言在数学发展的长河中的地位与作用，同时，还应知道数学语言对数学学习的重要意义。临床数学学习障碍分析表明，数学学习上的困难大部分来自于数学语言，如微积分中第一个重要的概念“数列的极限”学习就是一个典型的例子，多年的经验告诉我们，其中的困难有两点：一是自然语言与数学语言之间的转换，二是数学语言的三种形式，即文字语言、符号语言和图表语言之间的相互转换。所以，我们不是把数列极限的定义合盘抛出来，然后再逐条的作解释，这样效果很不理想，而是先列举一些数列，让他们观察，发现某些数列具有共同的特征，即当项数越来越大时，总是趋于一个固定的常数，其实这就是用自然语言描述的数学极限的定义，这一步大部分学生都不会有困难，然后启发他们能不能把这一现象用数学方式表述出来，教师可启发学生“趋于”就是“两个数要多接近有多接近”，“两个数要多接近有多接近”就是“两个数的差的绝对值要多小有多小”，“要多小有多小”进一步还可把它转换成“无论你给的数多么小，我的数比你还小”，这时可把它写成数学式子“对任给的s>O|xn-a|N时成立，这时便可引出数列极限的严格定义了，其实书本中的定义采用的数学符号语言，要想让学生深层次理解数列极限的定义，还应用几何语言，即图表语言进行解释|xn-A|n都落在以A为中心的邻域内，而该邻域外，至多有前项。这也是将代数语言转换成几何语言的过程。认识到数学语言的学习是有层次和梯度的，我们把每一个类似数列极限定义的抽象概念的学习分成几个步骤，把难度分解，适当做好铺垫，让他们感到每一步骤虽有小的困难，但能都很顺其自然逾越，“跳一跳，能摘到桃子”的感觉对初学高等数学的大学生来说是很重要的，否则，“一闷棍打死”就让他们失去了学习高等数学的兴趣和信心，然而，学生的差异很大，有的学生可能数学语言基础好一些，有的差一些，这些差异不可能全在课堂上解决，我们还应有一些补充形式，如布置预习、课前发放相关的阅读材料，找学生谈话、组织课后学习小组、个别辅导等多种方式。
作为教师，每一节的教学活动中都要言传身教，树立数学语言使用的典范。做到既要语言的准确、规范，又要通俗易懂、深入浅出。同时还要把握住通俗与严格之间的关系，注意区分自然语言与数学语言之间的差异，揭示自然语言与数学语言相互转换的过程。
除了课堂教学外，作业也是数学语言教育的一个重要途径，这是数学语言落实到书面的实践与检验，我们应更加重视。所以，要认真批改，认真讲评。如学生刚接触用定义证明数列或函数极限时，总是把握不好这种叙述方式，作业上的叙述五花八门，我们除了批改外，重点在课堂上讲评，结合典型例题和典型错误，强化数学语言教育。经多次反复，学生的进步愈来愈大，书写逐渐规范、准确。事实证明那种要求在高数中取消严格定义，代之以完全用描述性的定义来讲概念是不足取的。这种观点是站不住脚的。这种做法的根本错误不在于降低了难度与教学要求，而在于偏离了文科高数教育的本质，文科开设高等数学，一方面是让他们学到一些基本的高等数学知识，另一方面是让他们掌握和学会使用一定数学语言，领悟高数的精神、思想和方法，后者较前者要重要得多。
