[集合与命题应用性问题] 命题与集合关系
时间：2019-01-07 03:29:44 来源：雅意学习网 本文已影响 人 
问题一：征婚者的推论 数学家斯摩林根据莎士比亚的名句《威尼斯商人》中的情景编了一道题：女主角鲍西亚对求婚者说：“这里有三只盒子：金盒、银盒和铅盒，每只盒子的铭牌上各写有一句话。三句话中只有一句话是真话。谁能猜中我的肖像放在哪一只盒子里，谁就能成为我的丈夫。”如下图：
问题解决策略：从问题中的一些关联条件出发，辅之以表格或图形，通过分析，找出解题的突破口与关键。再应用形式逻辑的一般规律等数学知识，以及生活中的常识，作出推理、判断，使问题获解。
解：金盒和铅盒上的铭牌意思是截然相反的两句话，依据形式逻辑中的排中律：这两句话一句真一句假，必居其一。又因为三句话中只有一句真话，所以银盒中铭牌中的话是假的。即可断定鲍西亚的肖像在银盒子中。
应用实践：逻辑推理常出现在国内外不同层次的数学竞赛中。如下题：
【例1】一位妇女，她和兄弟、儿子、女儿都是棋手，最差的棋手的孪生者和最好的棋手是异性，最差的棋手与最好的棋手同龄，谁是最差的棋手？
略解：妇、弟、儿、女的年龄有以下几种可能：
妇弟孪生，儿女孪生，弟儿同龄，弟女同龄。从最坏棋手出发作推断：
（1）妇（差）弟（孪生者）女（好）妇、女同龄（矛盾）
（2）弟（差）妇（孪生者）儿（好）弟、儿同龄（即妇儿同龄矛盾）
（3）女（差）儿（孪生者）妇（好）妇、女同龄（矛盾）
（4）儿（差）女（孪生者）弟（好）弟、儿同龄（符合题意）
所以，该妇女的儿子是最差的棋手。
问题二：谁在说谎
一个国家的居民不是骑士就是无赖，骑士不说谎，无赖永远说谎。我们遇到该国居名A、B、C。A说：“如果C是骑士，那么B是无赖。”C说：“A和我不同，一个是骑士，一个是无赖。”这三人中谁是骑士，谁是无赖？
问题解决策略：从题设条件出发，通过分析，找出解题的突破口：一个人说的话非真即假，并辅之以反证法，对各种情形逐一推理、判断，使问题获解。
解：若A是骑士：①当C是骑士时，即C说的话应当是真话，C和A应当不同，故矛盾。②当C时无赖时，C说的是谎话，即C和A应当相同，矛盾。则A一定是无赖，他说的话是谎话。所以C与B都是骑士。
应用实践：【例2】四个孩子在后院玩球，突然玻璃碎了。
宝宝说：“是可可打破的。”
可可说：“不是我，是毛毛打破的。”
多多说：“我没有打破窗。”
毛毛说：“可可说谎。”
只有一个小孩说实话，他是谁？是谁打破窗户呢？
略解：若毛毛说实话宝宝、可可、多多都说谎话窗不是可可、毛毛打破的，是多多打破的不产生矛盾。因此毛毛说实话，窗是多多打破的。
问题三：计数中的学问
准备知识：
①集合A中的元素个数记为card（A）
②容斥原理：card（A∪B）=card（A）+card（B）-card（A∩B）
card（A∪B∪C）=card（A）+card（B）+card（C）-card（A∩B）-card（A∩C）-card（C∩B）+card（A∩B∩C）
在100个学生中，有篮球爱好者63人，足球爱好者75人，求对篮球、足球都爱好的人数的最小值和最大值。
问题解决策略：依据题设条件，设定集合，借助于有限集合的元素个数的容斥原理、集合的图示法使问题获解。
解：设I={全体同学}，A={爱好篮球的学生}，B={爱好足球的学生}，则
card（I）=100，card（A）=63，card（B）=75.
由card（I）=card（A）+card（B）-card（A∩B）+card（C（A∪B））
得card（AIB）=card（A）+card（B）-card（I）+card（C（A∪B））≥card（A）+card（B）-card（I）
63+75-100=38（人）
又card（A∩B）≤min{card（A），card（B）}=63（人）
所以对足球、篮球都爱好的人数最小值为38人，最大值为63人。
应用实践：【例3】有830人接受A、B、C三门课程的审定试验。A、B、C三门课程全部及格的是83人，B与C课程及格的是131人，A与B课程及格而C不及格的是92人，三门课程中至少有两门课程及格的是172人，A课程及格的是378人，B课程及格的是79人，515人仅及格一门课程，试问A、B、C三门课程都不及格的有几人？
解：我们采用韦恩图法来解决该问题
如左图，设A、B、C三门课程及格的学生集合分别为A、B、C，则图中各集合元素的个数分别为g=card（A∩B∩C）=83，因card（B∩C）=131，所以e=48，d=92.
f=172-（92+83+48）=32，b=378-（32+83+92）=171，
a=479-（92+83+48）=256，c=515-（171+256）=88.
因此A、B、C三门均不及格的人数为832-（a+b+c+d+e+f+g）=62（人）。
问题四：统计结果的推断
某校高三年级共249人，毕业考试优秀的学生人数及及格科目如下表：
解：如上图，集合A、B、C分别表示语数外各科优秀者全体。a，b，c，d，e，f，g分别表示个集合元素的个数。于是单科、两科、三科成绩优秀的学生总数为a+b+c+d+e+f+g=（a+e+d+g）+（b+d+f+g）+（c+f+e+g）-（d+g）-（e+g）-（f+g）+g=131+117+152-61-62-79+53=251.
仅这几类学生数就已超过249人，这是不可能的，因此统计有误。
高中数学学习对很大一部分同学来说是比较枯燥的，很多学生觉得学习数学没什么用，我们可以在每一章节中给学生几道生活与所学内容结合的题目。实际上这就是简单的建模。这也是为部分学生进入大学以后参加建模比赛作个铺垫，同时也是我们高中数学教师的职责所在。
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