带电粒子在匀强磁场中的运动带电粒子在磁场中完美对称的运动

时间：2019-01-30 03:36:38　来源：雅意学习网本文已影响人

　　带电粒子在磁场中的运动，体现了物理学的对称美与运动美，在�足一定条件下，可让粒子产生完美对称的运动轨迹。解决此类问题的关键在于分析粒子的受力情况，确定粒子的运动轨迹。如果学生能从物理学中的对称美来理解，解题时会产生事半功倍的效果。笔者整理相关的习题，让学生建立物理学对称美的观念。
　　
　　1 利用单一变化磁场使带电粒子完美对称的运动
　　
　　例1 如图1-1所示，虚线AB右侧是磁感应强度为2B的匀强磁场，左侧是磁感应强度为B的匀强磁场，磁场的方向垂直于图中的纸面并指向纸面内，现有一带正电的粒子自图中O处以初速度v开始向右运动。求从开始时刻到第10次通过AB线向右运动的时间内，该粒子在AB方向的平均速度？
　　
　　思路如图1-2所示，带电粒子从O点出发，受到洛仑兹力作用做圆周运动，经过半个周期后，穿过AB边界向左飞出，受到大小为原来二分之一的洛仑兹力作用，做半径为原来两倍的圆周运动，同样经过半个周期，穿过AB边界向右飞出，这样不断地来回穿越AB边界，形成如“舞龙”形状完美对称的运动轨迹。
　　解析粒子在磁场中只受洛仑兹力，粒子在AB边右侧做圆周运动，半径为：r1=mv2qB，在AB边左侧做圆周运动，半径为：r2=mvqB。
　　如图1-2所示，当粒子第10次通过AB边向右运动是在AB边上的位置和时间分别为
　　x=10r1=10mv2qB
　　t=10(T12+T22)=10(πm2qB+πmqB)=15πmqB
　　则平均速度：�v=xt=v3π�
　　
　　2 利用双向变化磁场使带电粒子完美对称的运动
　　
　　例2 如图2-1所示，空间分布着有理想边
　　界的匀强磁场，左侧区域宽度d，匀强磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向外。右侧区域宽度足够大，匀强磁场的磁感应强度大小也为B，方向垂直纸面向里；一个带正电的粒子（质量m，电量q，不计重力）从左边缘a点，以垂直于边界的速度进入左区域磁场，经过右区域磁场后，又回到a点出来。求：
　　（1）画出粒子在磁场中的运动轨迹；
　　（2）粒子在磁场中运动的速率v；
　　（3）粒子在磁场中运动的时间。
　　
　　思路如图2-2所示，粒子从a点飞入，受洛仑力作用做圆周运动，穿过磁场边界后进入右边区域，受到等大反向洛仑兹力作用，做圆周运动穿过磁场边界回到左边区域。粒子受到等大反向洛仑兹力作用继续做圆周运动回到a点，形成如“葫芦”形状对称完美的运动轨迹。
　　解析（1）运动轨迹如图2-2所示
　　（2）设粒子的速率为v，则粒子在做圆周运动的半径为r=mvqB
　　如图2-3所示根据三角形的比例关系，得：（2r）2=r2+(2d)2
　　所以v=23qBd3m
　　
　　（3）如图2-3所示，得：sinθ= r2r=12
　　所以θ=π6
　　粒子在左边界的时间t1=2π2-θ2πT1
　　粒子在右边界的时间 t2=2π-2θ2πT2
　　由于左右磁场区域磁感应强度相等，则T1=T2=2πmqB
　　粒子运动的总时间t=t1+t2=7πm3qB
　　
　　3 利用电场使带电粒子完美对称的运动
　　
　　例3 如图所示，在x轴上方有垂直于xy平面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，在x轴下方有一沿y轴负方向的匀强电场，场强大小为E，一质量为m，电量为－q的粒子从坐标原点o沿y轴正方向射出，射出之后，第三次到达x轴时，它与点o点的距离为L，求此粒子射出时的速度v和运动的总路程s（重力不计）
　　
　　思路带电粒子从o点沿着y轴方向射出，先做圆周运动，在x轴上方完成半圆周后，穿过x轴进入x轴下方，受电场力作用做匀减速直线减至速度为零，然后又沿原途做匀加速直线运动，直到第二次穿越x轴，两次穿越x轴的速度大小相等，进入磁场后x轴上方第二次完成半圆周后，垂直于x轴第三次穿过x轴，进入x轴下方电场区域，其简单过程示意图如图3-2所示，形成如“桥洞”形状完美对称的运动轨迹。
　　解析由图3-2可知：L＝4R
　　因洛仑兹力充当向心力：qvB=mv20/R
　　得v0=qBL/4m
　　粒子在磁场中经过的路程由图得：
　　s1=2πR=πL2
　　在电场中经过的路程由动能定理可得：
　　qEd=12mv20-0
　　得d=mv202qE=qL2B22(16mE)
　　在电场中经过的路程：
　　s2=2d=qL2B216mE
　　粒子运动的总路程：
　　s=s1+s2=πL2+qL2B216mE
　　
　　4 利用碰撞使带电粒子完美对称的运动
　　
　　例4 如图4-1所示，在一半径为R的圆筒内，有一个以垂直于匀强磁场和筒壁的速度v射入，质量为q的正离子。经过与筒壁几次碰撞后恰能从A孔射出，并且只绕圆筒内壁1圈。假设离子与筒壁碰撞时，电荷无迁移，能量无损失，求筒内磁场感应强度B的大小？
　　思路如图4-2所示带电粒子从A孔飞入，受到洛仑兹力作用做圆周运动，与圆筒内壁碰撞后反弹，再做圆周运动，再碰撞反弹，以此往复。不同磁感应强度使带电粒子会跟圆筒内壁碰撞2次以上，再从A孔飞出，形成无数种完美对称的运动轨迹。如图4-2所示为带电粒子分别与圆筒内壁碰撞2、3、4、5次形成的运动轨迹。
　　解析设带电粒子经过n次与圆筒碰撞后仍从A点射出而仅绕圆筒内壁转一圈，则相邻两次碰撞所对应的圆心角：
　　θ=2πn+1，n=2,3,4……。
　　由几何关系可知，带电粒子的半径为：
　　r=Rtanθ2
　　根据洛仑兹力公式得：
　　r=mvqB
　　由上三式可求得：
　　B=mvqRcot(πn+1),n=2,3,4 ……
　　
　　5 利用电场与碰撞使带电粒完美对称的运动
　　
　　例5 如图5-1所示，在半径为R的圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B三个点P、M、N均匀地分布在圆周上，有三对电压相同、相距为d的平行金属板，它们分别在这三点与圆相切，而且在相切处的极板上分别留有缝隙。一个质量为m，带电量为＋q的粒子，从点Q由静止开始运动，经过一段时间恰能回到点Q（不计重力）。
　　（1）在图上标出各板的正负极，并分析平行金属板间的电压U与磁感应强度的大小B应满足什么关系？
　　（2）粒子从点Q出以发又回到点Q，至少需要多长时间？
　　
　　思路如图5-2所示，带电粒子在Q点受到电场力作用，做匀加速直线运动，经N点飞入磁场，受到洛仑兹力作用，做圆周运动，经过1/6周期后，穿过P点，在电场力作用下，做匀减速直线运动，到极板时速度恰好为零。然后类似前面运动，从P点飞出后飞入M，双从M点飞出后飞入N点，回到Q点，这样重复运动，形成如 “埃菲尔铁塔”形状完美对称的运动轨迹。
　　［解析］（1）三对金属板的正负极，如图所示设粒子进入磁场时速度大小为v，运动半径为r，根据动能定理，有：qU=12mv2。
　　M、N、P三点均匀地分布在圆周上，每一段圆弧对圆心角为120°，由几何知识可知： r=3R。
　　根据牛顿第二定律，有：qvB=mv2r
　　由上述三式，可得：U=3qR2B22m
　　（2）粒子在磁场中作圆周运动的周期
　　T=2πmqB
　　经过三段圆弧所用时间为：
　　t1=3×16T=πmqB。
　　设粒子从Q点出发到达磁场所用时间T′则：d=12qEmT′2=qUT′22md
　　得T′=23mdqBR。
　　粒子在三对平行金属板间经历的时间为：
　　t2=6T′=43mdqBR
　　所以粒子从Q点出发又回到Q点需要的时间为：
　　t=t1+t2=πmqB+43mdqBR。�
　　
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