分块矩阵在求高阶行列式中的应用 一个行列式再取行列式
时间：2020-03-28 07:44:24 来源：雅意学习网 本文已影响 人 
内容摘要:本文从行列式的性质出发,推导出分块矩阵的几个性质,并举例说明这些性质在行列式计算和证明中的应用。 关键词:行列式;单位矩阵;分块矩阵 中图分类号:O13文献标识码:A
行列式是讨论线性方程组理论的一个有力工具,在数学的许多分支中有着极为广泛的应用。行列式的定义比较复杂,也比较形式化,初学者往往使抓不住要领。另外行列式的计算灵活多变,需要有较强的技巧。《线性代数》教材中对行列式的处理一般都是从行列式的定义出发,给出了行列式的许多性质。对于初学者来说,在较短的时间内全部掌握这些性质还是比较困难的,而行列式是线性代数的一个重要组成部分,直接计算高阶行列式往往比较困难,本文介绍几种用分块矩阵求行列式值的方法。
在行列式计算中经常用到的是下面三条性质:
(1)若行列式中某行有公因子,则可提到行列式号外面;
(2)把行列式中的某行乘上某一个非零数,加到另一行中去,其值不变;
(3)把行列式中的某两行互换位置,其值变号。
在解决矩阵的某些问题时,对于级数较高的矩阵,常采用分块的方法,将一个矩阵分割成若干个小矩阵,在运算过程中将小矩阵看成元素来处理,对问题的解决往往起到简化的作用。
利用矩阵的分块,我们可以把行列式的三条性质在分块矩阵中进行推广。
定理1:设A、B、C、D都是n阶矩阵,其中�A�≠0,并且AC=CA,则。
证明:利用分块矩阵的乘法,有
两边取行列式:
因为AC=CA可以得到:
定理2:设 是分块n阶行矩阵,其中A,D分别为k阶和s阶方阵:
(1)若A可逆,则�P�=�A�*�D-CA-1B�;
(2)若D可逆,则�P�=�D�*�A-BD-1C�;
性质1设方阵A是由如下分块矩阵组成
其中A1,A2,A3,B1,B2,B3,C1,C2,C3都是s×t矩阵,又M是任一s阶方阵。
对于矩阵:则�B�=�M�•�A�
证明设ES为s阶单位矩阵,则
可得
性质2.设方阵A和A’写成如下形式
其中A1,A2,A3,B1,B2,B3,C1,C2,C3都是s×t矩阵
证明A可由A’中的B1,B2,B3与A1,A2,A3相应的两行对换而得到,而对换行列式的两行,行列式反号,故当s为偶数时,�A’�=�A�;当s为奇数时,�A’�=-�A�。
可以证明,对于一般分块矩阵也具有类似性质。同时,这些性质不仅对行成立,对列也同样成立。
推论1设A,B都是n阶方阵,则有
例1.计算2n阶行列式
解,令
例2.
通过以上几个性质和例题,可以看出利用分块矩阵求行列式的值,方法比较简单,只用到矩阵运算的基础知识。使用这种方法可以使行列式与矩阵这两个重要概念前后呼应,使我们既能对分块矩阵加深理解,又能解决求高阶行列式的困难。
计算n级行列式的方法很多,除了以上的常见方法外还有一些特殊的方法,如n级轮换行列式的初等计算方法、极限法、导数法、积分法等,由于用处不多,不再介绍。对一个给定的行列式可以有多种方法去解,这时则要求我们注意方法的灵活性,要在众多解中选取一种最简便的方法。
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作者简介:
张存博(1986- )蒙古族,辽宁省,朝阳市喀左县,西北民族大学电器工程学院,电子信息工程。
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