一道物理问题的数学模型:建立物理系统的数学模型的步骤
时间：2020-02-27 07:33:44 来源：雅意学习网 本文已影响 人 
【摘要】通过一道物理问题的数学模型及其推广，加强学生数学应用意识的培养，体验数学活动。 【关键词】最小场强；拉格朗日极值法；数学模型 Together with the mathematical model of the physical problem
Li Yuewei Kong Linling
【Abstract】Together with the problem through the physical and mathematical models to promote awareness among students of mathematics applications of training, experience mathematical activities.
【Key Words】 minimum field strength; Lagrange extremum method; mathematical model
对于数学，特别是对于数学的应用，微分所具有的重大意义主要是在于：很多的物理问题与技术问题的研究可化归为这类问题的求解。
数学研究发展在某种意义上可说是对数学模式个体做抽象过程的研究。尽管数学本身不是模式，但作为教学科目的数学却日益用模式去研究，教学过程可用图1表示：
1 创设物理情境，引入课题
在物理学的电场中存在这样一类问题:带电量分别为q�1q�2的两个异号点电荷相距为l，如图2所示，则两个点电荷连线上的最小场强E为多少？
这是物理学之电场中常见的问题，不妨首先考虑两个点电荷连线上任意一点处的电场E�p，根据点电荷激发的电场公式的E=kqr�2得：
E�p=E�1+E�2=kq�1x�2+kq�2(l-x)�2,x∈(0,l)（1）
如何由此公式根据x的变化确定E�p的最小值？这个问题看似简单，其实并不那么容易。当然，运用微分的方法是可以解决的，但能不能有更为巧妙的初等方法解决此问题。我们可运用初等数学、微分或线性规划等方法解决此问题。
2 物理问题数学化――二维形式数学模型：
用数学方法解决物理问题，体验数学活动的过程。物理情境转化数学问题。将物理量之间的关系抽象成为数学模型旨在培养学生在物理情境下学会数学的提出问题，明确探究方向。
若�a,b∈R�+,x�1,x�2∈R�+,且x�1+x�2-l（2）f(x�1,x�2)=a�3x�2�1+b�3x�2�2，（3）求函数f（x�1，x�2）的最小值。
即minf（x�1，x�2，l）=x�1+x�2-l=0。
解：(2)、(3)为约束条件，则拉格朗日函数为L(x�1,x�2,λ)=a�3x�2�1+b�3x�2�2+λ(x�1+x�2-l)
由�L�x�1=2a�3x�3�1+λ=0，�L�x�2=-2b�3x�3�1+λ=0得λ=2q�3x�3�1,λ=2b�3x�3�2,
从而得到关系式：即ax�2=bx�1,∴ax�1=bx�2即x�1=ax�2b,
又由于�L�λ=x�1+x�2-l=0
所以有x�1=ala+b，x�2=bla+b,只有唯一驻点。
故此驻点ala+b,bla+b就是最小值点，此时f(x�1,x�2)�min�=(a+b)�3l�2=(a+b)�3(x�1+x�2)�2（4）
根据（4）不难求出（1）的最小值为E�min�=k(3q�1+3q�2)�3l�2
其中等式成立的条件为3q�1x=(3q�2)l-x。
由此可得x=3q�13q�1+3q�2l，特别的，当q�1=q�2时，x=12l
3 维形式的数学模型
希尔伯特说：“数学问题的宝藏是无穷无尽的，一个问题一旦解决，无数新的问题就会取而代之。”这就叫做“你知道的越多，不知道的也越多”。于是，客观情况需要我们去思考：解决前一个问题的方法是否也能用来解决后继问题？只有那些抓住问题实质的方法才能提供深刻推广途径。
便于推广的方法常常具有两个特征：
第一，由于抓住了问题的实质而显得特别简单、明了。
第二，由于显示了问题的一般性，尽管步骤上不是最简的，但对题目中特殊条件的依赖是最少的，常常是非实质的。
若�a�i∈R�+,∑ni=ix�i=l（5），f�n(x�i)=∑ni=ia�3�ix�2�i(n≥2)（6）。
试求f�n(x�i)的最小值。
解：由约束条件（5）、（6），构造拉格朗日函数为：
L(x�1,x�2…,x�n,λ)=a�3�1x�2�1+a�3�2x�2�2+…+a�3�nx�2�nλ(x�1,x�2+…+x�n-l)
�L�x�1=-2a�3�1x�3�1+λ=0�λ=2a�3�1x�3�1
�L�x�2=-2a�3�2x�3�1+λ=0�λ=2a�3�2x�3�2
M
�L�x�n=-2a�3�nx�3�n+λ=0�λ=2a�3�nx�3�n
�a�1x�1=a�2x�2=…=a�nx�n（7）
�L�λ=x�1+x�2+…+x�n-λ=0
∵x�i＞0（i=1，2…n）
所以x�1=a�1la�1+2�2+…+a�n，x�2a�2la�1+a�2+…+a�n，
x�n=
a�nla�1+a�2+…+a�n
故唯一驻点a�1la�1+a�2+…+a�n,a�2la�1+a�2+…+a�2,
a�nla�1+a�2+…+a�n也是最小值点。此时f�min�（x�i）=
（∑ni=1a�i）�3（∑ni=1）�2（8）
特别是q�1=q�2=…=q�n,x�1=x�2=…=x�n=1n。用数学归纳法可以进行证明。
本题也可以用著名的权方和不等式来实现物理情境向数学问题的转化:
x�m+1��1y�m�1+x�m+1��2y�m�2+…+x�m+1��2y�m�n≥（x�1+x�2+…+x�n）�m+1�（y�1+y�2+…+y�n）�m
其中x�2∈R�+，y�i∈R�+,i=1,2,… n,m∈R�+，当且仅当x�1y�1=x�2y�2=…=x�ny�n时，等号成立。
4 返璞归真――数学问题的物理模型
在一条直线上固定n+1个点电荷，其中最左端的带正电的点电荷带电量为q，右端所有点电荷均带负电，其带电量的大小分别为的q�1,q�2,L,q�n-1�,q�n，且这些点电荷相距正电荷的距离分别为a�1,a�2,L,a�n-1�,a�n，如图3所示，则在的两个点电荷连线上存在的最小场强为多少?
这一问题可以作为抽象的数学问题（三）的具体物理模型之一。
设在q,q�1的两个点电荷连线上与q相距x处的电场为E，直接根据点电荷激发的电场公式的E=kqr�2得：
E=kqx�2+kq�1(a�1-x)�2+kq�2(a�2-x)�2+… kq�n(a�n-x)�2,x∈�(0,a�i),i=1,2,… n（9）
式（9）可根据结论（7）求的最小值，但需要对（7）进行变形：
设�u�i∈(0,u)，使得∑ni=1u�i=1，于是将（9）式变形为
E=kqx�2+∑ni=1u�2�iq�i(u�ia�i-u�ix)�2，
变形的目的旨在使得满足上式能够取得最小值时的条件以及上式分母能够满足：
x+∑ni=1(u�ia�i-u�ix)=x(1-∑ni+1u�i)+∑ni=1u�ia�i=∑ni=1u�ia�i（与变量x无关）
则应用（8）可得
E=kqx�2+∑ni=1u�2�iq�i(u�ia�i-u�ix)�2=(3q)�2x�2+∑ni=1(3u�2�iq�i)�3(u�ia�i-u�ix)�2
下的根据（7）等式成立的条件确定出（9）式成立的条件为：
3qx=3u�2�iq�1u�1a�1-u�1x=3u�2�iq�2u�2a�2-u�2x=…=3u�2�iq�nu�na�n-u�nx（10）
将此上式变形并设比值为λ得：
3qx=3q�1u�2a�1-x=3q�2u�2a�2-x=…=3q�nu�2a�n-x=λ（11）
由此可推得：x3qλ，u�i=q�i（λa�i-3a）�3，i=1，2，… n
∵∑ni=1u�1=1，∑ni=1q�i(λa�i-3a)�3=1（12）
方程（12）正是确定λ的特征方程，即λ是（12）的一个有效地解。故场强
E=qx�2+∑ni=1q�i(a�i-x)�2
的最小值E�min�为：
E�min�=minqx�2+∑ni=1q�i(a�i-x)�2=
3q+∑ni=13u�2�iq�i�3∑ni=1u�ia�i�2（13）
其中x=3qλ，u�i=q�i(λa�i-3a)�3,i=1=2,… n。而是方程(12)的一个解。
特别当n=1时，上式便退化为两个点电荷的情形。
参考文献
［1］
罗增儒.《数学解题学引论》，陕西师范大学出版社，1997年6月。
［2］ 孙清华.《高等数学》，华中科技大学出版社，2003年7月。
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