方程与等式的关系_发掘不等关系解（证）等式问题

时间：2020-02-27 07:26:39　来源：雅意学习网本文已影响人

　　相等和不等是一对既对立又统一的矛盾，它们在一定条件下可以互相转化.数学中的一些相等问题，如求值、等式证明、解方程(组)等，若直接求解有困难，不妨从相等的条件中发拙不等关系，以不等为突破口，往往能使问题获得巧妙的解法.兹举例说明.
　　一、从二次根式中发掘不等式关系
　　对于含有二次根式的等式问题，首先要考虑二次根式的被开方数非负，由此建立不等关系.
　　例1 已知y=x�2-25x-4-x�2-24-5x+2,则x�2+y�2= .(2000年重庆市初中数学竞赛试题)
　　解析：本题若直接代入求解，则难以奏效，由二次根式的被开方数非负得x�2-25x-4≥0且x�2-24-5x≥0，由此可得x�2-2=0即x�2=2进而可得y=2，从而x�2+y�2=2+2�2=6.
　　评注：不等关系的发掘是解决本题的关键.
　　例2 设等式a(x-a)+a(y-a)=x-a-a-y在实数范围内成立，其中a、x、y是两两不同的实数，则3x�2+xy-y�2x�2-xy+y�2的值为 .(1991年全国初中数学竞赛试题)
　　解析：已知式有3个字母，关系较为复杂，x、y的关系不易求得，可由二次根式的被开方数非负建立不等关系寻求突破口.由a(x-a)≥0,
　　a(y-x)≥0,
　　x-a≥0,
　　a-y≥0可得a≥0,
　　a≤0,则a=0，代入已知式得x--y=0，则x=-y，故原式=3y�2-y�2-y�2y�2+y�2+y�2=13.
　　二、从整数中发掘不等关系
　　对涉及方程有整数根的问题，可利用整数的性质发掘不等关系.
　　例3 求方程2x+3x+1+4x+2=13360的正整数根.(1990年上海市初中数学竞赛试题)
　　解析：本题若直接去分母，将得到一个难解的高次方程，注意到原方程的特点，由x是正整数得1x>1x+1>1x+2，则由原方程得9x+20,原方程可化为(x+1x��2005)(1+x�2+x�4+…+x��2004)=2006,即x+x�3+x�5+…+x��2005+1x��2005+1x��2003+1x��2001+…+1x�3+1x=2006,则2006=(x+1x)+(x�3+1x�3)+…+(x��2005+1x��2005)≥��2+2+…+21003个2=2006.上式等式成立，当且仅当x=1x,x�3=1x�3,…x��2005=1x��2005，即x=1.
　　五、从函数中发掘不等关系
　　对于几个结构相同的式子或等式，可考虑构造函数，利用函数的单调性发掘不等关系，寻求突破.
　　如上述例10，可以用此法求解.
　　解析：易知x≥0,y≥0,z≥0，且x=y=z=0是一组解.由三个方程左边的结构相同构造函数f(t)=4t�21+4t�2，即f(t)=41t�2+4，则原方程组为f(x)=y,
　　f(y)=z,
　　f(z)=x.(*)易知t>0时f(t)单调递增.若x>y,由(*)知，f(z)>f(x)，则z>x.又由(*)知f(y)>f(z)，则y>z,从而y>x,矛盾.故x>y不成立，同理y>x不成立，从而x=y.代入①可得x=y=12,同理可得z=12.经检验，原方程组的解为(0，0，0)，(12，12，12).
　　由上观之，发掘等式中的不等关系，用“不等”助“相等”，为解(证)相等问题提供了一种重要方法.这不仅拓宽了解题思路，提高了解题质量，同时有利于提高学生对相等与不等对立统一关系的认识，有利于培养学生辨证思维能力和思维的灵活性.

方程与等式的关系_发掘不等关系解（证）等式问题

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