[曲线的切线概念分析(上)] 曲线的切线方程
时间：2020-02-23 07:29:39 来源：雅意学习网 本文已影响 人 
对于切线问题，同学们并不陌生.尤其是圆的切线问题，大多数同学对于圆的切线的定义、性质以及判定方法都是非常熟悉的.但是对于圆锥曲线和一般曲线来说，同学们对于切线问题的认识并不是十分明确的.由于受圆的切线知识的影响，同学们对于圆锥曲线和一般曲线的切线问题形成了很多错误的认识，产生了很多错误的结论.
在整个中学数学中，曲线切线概念的处境十分尴尬.虽然各种教科书中很少涉及切线概念，但是各类考试题中经常出现切线问题．为了让同学们对于曲线的切线问题有一个比较全面的认识，本文针对曲线的切线概念进行较为全面地解析.
一、 切线概念的产生与发展
1. 圆的切线
在欧几里得的《几何原本》第三卷中，有一个命题：“由一个圆的直径的端点作直线与直径成直角．则该直线落在圆外，在这个平面上在这直线与圆之间不能再插入另外的直线”．此命题中“过圆直径的一端垂直于直径的直线”是指圆的一条切线．从这命题可推出“圆的切线与圆只有一个交点，这是唯一的结论”．
2. 圆锥曲线的切线
阿波罗尼奥斯定义圆锥曲线的切线为“与圆锥曲线有一公共点且全在圆锥曲线之外的直线”．这种切线定义对圆锥曲线一类的曲线已足够，但不适用于较复杂的曲线．
3. 十七世纪初关于切线的三种定义
（1） 解析几何方法
笛卡尔于1637年提出解析几何方法，又叫做笛卡尔圆法（重根法），是采用代数形式给出了求切线的方法，它不涉及极限的概念．具体求法是，对于曲线上的任意一点作圆，当圆与曲线只有一个交点时，过圆心与这点的直线就是法线，由此就可确定切线的方向．笛卡尔圆法在本质上将切线视为割线的极限位置，这与现代的切线概念相一致．这种方法是利用直角坐标系建立曲线方程，当所对应的方程组有重根时，就可以确定圆心所在的直线（法线）．这种方法的求解过程较长．
（2） 合速度方向法
法国数学家罗伯瓦尔（1602～1675）从运动角度出发，把曲线看成一个动点的轨迹，并于1634年定义曲线的切线为“合速度方向的直线”．这种定义适用于许多旧切线定义不适用的曲线．可是数学家们并不乐于接受这种用了物理概念的切线定义．而且它并不适用于不能以运动表示的曲线．
（3） 割线极限位置法
英国数学家费马•巴鲁（1630～1667）等人则从几何角度出发，把切线看成两交点重合时的割线．这个定义除当时尚无严格的极限概念外，已相近于现在的定义．至1639年，法国数学家笛沙格（1591～1661）于其著作中把切线明确地看为割线的极限．这种对于切线定义的不同思考角度，正是牛顿及莱布尼兹的流数术与微分法思路．故此切线问题的研究为微积分的创立作了具体的准备．现在切线已定义为过曲线上定点的割线的极限位置．
二、 切线与微积分
到十七世纪，科学界已经积累了许多具体的问题需要解决，这些问题也就成了促使微积分产生的因素．归结起来，大约有四种主要类型的问题：第一类是求瞬时速度的问题；第二类是求曲线的切线的问题；第三类是求函数的最值的问题；第四类是求曲线长、曲线围成的面积、曲面围成的体积等问题．牛顿、莱布尼茨对以往分散的努力加以综合，把上述几类问题总结为两个最核心的问题：一个是切线问题（微分学的中心问题），一个是求积问题（积分学的中心问题）.由此统一成微分和积分两类普通的算法，并确立了这两类运算的互逆关系，从而完成了微积分发明中最关键的一步．由此可见，微积分的创立主要是由研究变速运动而产生的，是由研究曲线在某点处的切线而产生的．
切线概念的产生与发展已经有三百多年历史．三百多年来，切线的定义及其求法自产生以后，就在不断地改进、发展和完善．很多优秀的数学家、物理学家，为此呕心沥血不懈努力做出了卓越的贡献，甚至献出了毕生的精力．
三、 切线概念遭遇的尴尬
1. 切线的定义残缺不全
大家知道，不论是初中的平面几何，还是高中的解析几何中，都遇到了不少关于曲线的切线问题，而且还学会了曲线的切线所具有的许多性质．可令人遗憾的是，对于曲线的切线是什么条件下提出来的、曲线的切线是如何定义的等一系问题，中学数学教材中并没有明确的结论.中学阶段的教材，对于曲线的切线并没有给出一个完整的定义，曲线切线的定义残缺不全．
2. 切线的知识支离破碎
在初中学习平面几何的时候，同学们就能够比较系统地掌握圆的切线的有关知识，学会圆的切线的许多性质．也正是由于同学们对圆的切线问题比较熟悉，因此到了高中学习圆锥曲线的切线和一般曲线的切线时，就遇到了极大的挑战．不论是切线的定义、性质和求法，还是切线与曲线的位置关系，都发生了很大的变化．初中所掌握的切线知识遭遇到了前所未有的冲击．在中学阶段，同学们关于曲线的切线知识就变得支离破碎．
3. 切线的概念若明若暗
在中学数学教材中曲线的切线的定义不是十分明确的．首先，在初中《平面几何》里面给出了圆的切线的定义：“把与圆只有一个公共交点的直线叫做圆的切线”，这种定义不适用于一般的曲线；其次，在高中《解析几何》里面讨论“直线与圆锥曲线位置关系”时，涉及到了圆锥曲线切线的问题，可是并没有给出圆锥曲线切线的准确定义；最后，在高中《导数》里面把曲线上的“割线的极限位置”定义为切线．
4. 切线的问题似是而非
初中教材中把圆的切线定义为“与曲线只有一个交点的直线”，这个定义在初中阶段是恰当的，并且利用这个定义可以得出圆的切线的求法和很多有用的性质.但是同学们很容易把圆的切线知识直接推广到圆锥曲线和一般曲线，从而得到一些错误的结论，使得同学们对曲线切线问题的很多认识，都是马马虎虎、似是而非的，给继续学习曲线的切线知识埋下了极大的隐患.例如，与曲线只有一个公共点的直线一定是切线吗，曲线的切线与曲线只有一个公共点吗，曲线一定在切线的同一侧吗，曲线的切线与曲线有交点吗，在切点附近曲线一定在切线的同一侧吗，切线与曲线只有一个切点吗，在切点处曲线一定有导数吗？等等．
四、 切线概念的解析
1. 圆的切线
（1） 圆切线的定义
在平面内，直线和圆的位置关系有三种：相交、相切和相离.相交时圆和直线有两个公共点，相切时只有一个公共点，相离时直线和圆没有公共点.由此可得圆的切线的定义：直线和圆只有一个公共点，叫做直线和圆相切，直线叫做切线，公共点叫做切点.
（2） 圆切线的判定方法
圆的切线的判定方法有三种：①与圆有唯一公共点的直线是圆的切线；②到圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线；③经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
（3） 圆切线的主要性质
圆的切线有以下一些主要性质：①切线和圆有唯一公共点；②切线和圆心的距离等于圆的半径；③切线垂直于过切点的半径；④经过圆心垂直于切线的直线必过切点；⑤经过切点垂直于切线的直线必过圆心；⑥过圆上一点能且只能作圆的一条切线；⑦过圆外一点能且只作两条圆的切线.
（4） 圆切线的方程
根据圆的切线的三种判定方法，就能得到求圆的切线的三种常用方法：一是距离法，让圆心到直线的距离等于半径；二是垂直法，让过圆上一点的直线与过这点的半径垂直；三是判别式法，将直线方程与圆的方程联立，消去一个变量后得一元次方程，让判别式等于零．其中最常用方法是判别式法.
容易证明，过圆x2+y2=r2上一点P（x0，y0）的切线方程为x•x0+y•y0=r2.因为这点在圆上，所以只需证明圆心O（0，0）到直线x•x0+y•y0=r2的距离等于半径r.
如果点P（x0，y0）在圆x2+y2+Dx+Ey+F=0上，那么可以推得过点P（x0，y0）的圆的切线方程为x•x0+y•y0+D+E+F=0.
2. 圆锥曲线的切线
（1） 圆锥曲线切线的定义（代数法）
因为直线的方程是二元一次方程，圆锥曲线的方程是二元二次方程，它们所对应的方程组最多有两个不相同的解．所以直线与圆锥曲线的公共点的个数有如下三种情况：两个公共点、一个公共点和没有公共点．因此我们就可以根据公共点的个数给出圆锥曲线切线的定义．
由于圆锥曲线可分为椭圆、双曲线和抛物线三种，下面就分三种情况进行讨论.
如果直线与椭圆只有一个公共点，就把这条直线叫做椭圆的切线，公共点叫做切点．
如果直线与双曲线只有一个公共点，并且不与渐近线平行，就把这条直线叫做双曲线的切线，公共点叫做切点．
如果直线与抛物线只有一个公共点，并且不与对称轴平行，就把这条直线叫做抛物线的切线，公共点叫做切点．
特别注意：当直线与双曲线的渐近线平行（图1），或者与抛物线的对称轴平行（图2）时，虽然只有一公共点P，但是这条直线是交线，不能叫做切线，这个公共点是交点，也不能叫做切点．
（2） 圆锥曲线切线的方程
根据圆锥曲线切线的定义，可知直线l是圆锥曲线C的切线的充要条件是将l的方程代入C的方程后，得到的关于x或y方程中的二次项系数不等于零，且判别式等于零．利用这个结论，就可以求圆锥曲线切线的方程.
设点P（x0，y0）在双曲线-=1上.
若|x0|=a，x=x0就是所求切线方程；
若|x0|≠a，可设切线方程为y-y0=k（x-x0），代入双曲线方程，得（b2-k2a2）x2-2a2（y0-kx0）x-a2（y0-kx0）2-a2b2=0.由于b2-k2a2≠0，令判别式Δ=0，得4a4（y0-kx0）2-4（b2-a2k2）[-a2（y0-kx0）2-a2b2]=0，化简得（x2 0-a2）k2-2x0y0k+y2 0+b2=0，所以k=.
由点P在双曲线上，可得a2y2 0-b2x2 0+a2b2=0，所以k=.
由-=1，得=，所以k=.
代入y-y0=k（x-x0），化简得y-y0=（x-x0），此式可化为-=1，这就是所要求的切线方程．
对于椭圆+=1和抛物线y2=2px上的点P（x0，y0），可以用同样办法求得相应的切线方程为+=1和y0y=p（x+x0）.
一般地，对于任意圆锥曲线Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0上的点P（x0，y0），同样可求得过点P（x0，y0）的切线方程为Ax•x0+B+Cy•y0+D+E+F=0.
（3） 圆锥曲线的切线数
我们在平面几何中已经知道，过圆外一点可以向圆作两条切线，过圆上一点只能作一条切线，过圆内一点不能作圆的切线.类似地，对于圆锥曲线来说，也有相应的结论.
对于椭圆和抛物线，过曲线外的一点可以作两条切线，过曲线上的一点只能作一条切线，过曲线内的一点不能作切线.
对于双曲线，过曲线外且不在渐近线上的一点，可以作两条切线；过曲线上的一点只能作一条切线；过曲线内的一点不能作切线；过渐近线上的一点只能作一条切线，但过渐近线的交点不能作切线.
（未完待续）
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