高三试卷讲评课_一道高三模拟题的讲评课的设计
时间：2019-05-11 03:13:49 来源：雅意学习网 本文已影响 人 
摘 要：高三数学的试卷讲评课应该做到：对典型的问题，必须引导学生提炼、归纳，以期上升为宏观的解题策略；课堂需适当留白，让学生自主探究，以激发、点燃学生求知的欲望；重点知识、重要方法要通过变式反复强化和巩固，以期进入到审题、解题的快速通道．
关键词：宏观的解题策略；自主探究；提炼；归纳；变式
题： 设A1，A2与B分别是椭圆E：+=1（a>b>0）的左、右顶点与上顶点，直线A2B与圆C：x2+y2=1相切．
（1）?摇求证：+=1；
（2）?摇P是椭圆E上异于A1，A2的一点，直线PA1，PA2的斜率之积为－，求椭圆E的方程；
（3）?摇直线l与椭圆E相交于M，N且·=0，试判断直线l与圆C的位置关系，并说明理由．
这是2012年江苏南通市高三期末调研测试的第18题，笔者参与本题阅卷工作，学生对（2）（3）问的解答不尽如人意，主要存在如下的问题：
①知识有缺陷，概念不清：如直线的截距式方程、点到直线的距离公式、向量的数量积等等；
②解题缺乏宏观的策略指引：解题方向不清、思维零乱，不能直达目标、一剑封喉．
③运算能力薄弱：运算烦琐，特别是字母运算不能驾轻就熟．
其实，本题的解法很典型，母题分散在教材各个章节的习题或练习中，（2）是点差法，（3）是斜率参数韦达定理法． 考虑到本题是内涵丰富又有一定背景的试题，所以笔者决定以它为例，对它丰富的内涵和背景进行针对性讲评，以发挥该试题的更大作用，拓展学生的知识视野，发展学生的思维能力． 经过反复思考和准备，决定一改以前高三数学试卷讲评课的风格，引导学生来一次探究、归纳和整理． 于是有了如下的讲评思路．
试题讲评与定理归纳
原题（2）讲解过后，请学生思考：
问题1，P是椭圆上异于A，B的一个动点，则直线PA，PB的斜率之积是常数吗？结果是什么？由学生自己归纳，并说明理由，为了叙述方便，下面用定理的形式表达．
定理1：点A，B是过椭圆+=1（a>b>0）中心的直线与椭圆的两个交点，P是椭圆上异于A，B的一个动点，则直线PA，PB的斜率之积为常数－．
学生简证：设A点坐标为（x0，y0），P点坐标为（x，y），则B点坐标为（-x0，-y0），
+=1 （1）+=1 （2） 由（1）（2）得：
+=0，+=0，
+=0，
即kPAkPB=－．
教师点评：证法的本质是点差法．
问题2：第3问在一般情况下，a，b，r满足什么条件？以下由学生归纳并说明理由．
定理2：已知椭圆E：+=1（a>b>0），作圆C：x2+y2=r2的切线l与椭圆E相交于M，N，∠MON=90°恒成立的条件是+=．
学生解答：（1）若直线的斜率存在，设直线l的方程为y=kx+m.
l与圆C：x2+y2=r2相切，所以=r，所以m2=r2（1+k2），将l的方程代入+=1得（b2+a2k2）x2+2kma2x+a2m2－a2b2=0，x1+x2=－，x1x2=.
x1x2+y1y2=（1+k2）x1x2+km（x1+x2）+m2=－+m2=0，
（1+k2）（a2m2－a2b2）－2k2m2a2+m2（b2+a2k2）=0，a2m2－a2b2+a2m2k2－a2b2k2－2k2m2a2+m2b2+m2a2k2=0，a2m2－a2b2－a2b2k2+m2b2=0，（a2+b2）m2=a2b2（1+k2）． 圆心到直线l的距离d=====r．
老师点评：以上方法是典型斜率参数韦达定理法．还有别的方法吗？
问题3：我们学过三角函数坐标定义，能不能用三角函数设出椭圆上夹角是直角的两点，再求出原点到该直线的距离？
有学生设出一组M（acosθ，bsinθ），N（－bsinθ，acosθ），经检验它们垂直，但第二点不在椭圆上，经过很长时间等待，并在教师的提示、引导分析，帮助下，终于有学生提出如下设法：
学生A：设M（r1cosθ，r1sinθ），因∠MON=90°，可设N（－r2sinθ，r2cosθ），
代入椭圆方程得+=，+=，+=+，由面积公式r=r1r2，=+=+．
问题4：对于定理1、定理2，如果将椭圆改成双曲线有怎样的结果？
经过学生的运算很快有人得出如下结论：
定理3：点A，B是过双曲线-=1中心的直线与双曲线的两个交点，P是椭圆上异于A，B的一个动点，则直线PA，PB的斜率之积为常数．
定理5：已知双曲线E：-=1（b>a>0），作圆C：x2+y2=r2的切线l与双曲线E相交于M，N， 若-=，则∠MON=90°．
对于定理5，有一个学生模仿定理2的三角解法居然给出了如下解法：
设M（r1cosθ，r1sinθ），因∠MON=90°，可设N（－r2sinθ，r2cosθ），
代入双曲线方程得－=，－=，两式相加+=-，由面积公式得r=·r1r2，=+=－．
令人惊喜，叫绝，难道让学生自主探究有这么大魔力，能力可以这样培养？学生在品尝成功的喜悦，笔者在收获着快乐． 笔者再一次相信著名教育家苏霍姆林斯基说过的话：在人的心灵深处，都有一种根深蒂固的需要，这就是希望自己是一个发现者、研究者、探索者．我们老师就做一个激励、唤醒、鼓舞角色便好！
几个高考试题的例证
本环节利用投影打出几个高考试题，目的是使学生理解图形的结构特征，并熟记两个结论，形成解题模型和宏观的解题策略． 只要学生简要说出结果，和解题思路就行了．
例1 （2011江苏高考第3问）如图1，在平面直角坐标系xOy中，M、N分别是椭圆+=1的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P，A两点，其中P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C，连结AC，并延长交椭圆于点B，设直线PA的斜率为k，对任意k>0，求证：PA⊥PB．
图1
学生简答：观察图形结构，P与A关于原点对称，B是椭圆是异于它们的另一点，则有
kABkPB=－=－． 设P点坐标为（x1，y1），B点坐标为（x2，y2），则A点坐标为（-x1，-y1）， C点坐标为（x1，0），则
kPB=，kAB==kAP，带入
kABkPB=－，即kPAkPB=－，
kPAkPB=－1，所以PA⊥PB．
例2 （2009山东高考理科部分）
设椭圆E：+=1（a，b>0）过M（2，），N（，1）两点，O为坐标原点，
（1）求椭圆E的方程；
（2）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B且⊥？若存在，写出该圆的方程．
投影出以上题目，请学生分析，很快有学生得出结论．
学生简答：该题背景就是定理2的模型，易得椭圆E的方程为+=1，
=+=+=，r2=.
综上， 存在圆心在原点的圆x2+y2=，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，且⊥．
例3 （2009北京高考理科）
已知双曲线C：-=1（a>0，b>0）的离心率为，右准线方程为x=．
（1）求双曲线C的方程；
（2）设直线l是圆O：x2+y2=2上动点P（x0，y0）（x0y0≠0）处的切线，l与双曲线C交于不同的两点A，B，证明：∠AOB的大小为定值．
学生简答：该题背景好像是定理4的，易得所求双曲线C的方程为x2－=1．
=－，满足－=，l与双曲线C交于不同的两点A，B，∠AOB的大小恒为90°．
方法升华与实践提高
为了巩固以上模型方法，笔者将关于原点对称的点保持不变，椭圆上另一点变换到与x轴垂直的直线上，又提出如下问题让学生思考，
问题5：点A，B是椭圆+=1（a>b>0）左、右顶点，S是椭圆的动点，连结SA，SB，分别交直线x=t（t为常数，且t≠a）于点M，N，设M，N的纵坐标分别为y1，y2，则①y1·y2为常数________，
②以M，N为直径的圆恒经过定点________，
③线段M，N长度的最小值为_____．
学生活动探究：由AM，BN的斜率的积为常数－，很快得到
①－（t2－a2），②t±，0，③．
图2
问题6：点P，Q是椭圆+=1（a>b>0）上关于原点对称的两个动点，B是椭圆的右顶点，连结BP，BQ，分别交直线x=t（t为常数，且t≠a）于点E，F，设E，F的纵坐标分别为y1，y2，
则①y1·y2为常数________，
②以E，F为直径的圆恒经过定点________，
③线段EF长度的最小值为_______．
学生活动探究：同学们经过运算：也能很快能算出①－（t－a）2，②t±（t－a），0，③（t－a）．
一堂试卷评讲课讲完了，总的感觉学生在课堂上很兴奋，情绪高涨，跃跃欲试，都感觉自己好像发现了什么，笔者也很兴奋，感叹原来试卷讲评也可以这样设计、这样讲！
笔者觉得高三试卷讲评课有这样几点必须做到：
（1）对一些含有典型结构的问题，必须引导学生提炼、归纳，得出一般结论，以期上升为宏观的解题策略．
（2）课堂需适当留白，让学生自主探究，以激发点燃学生求知的欲望．
（3）重点知识、重要方法要通过变式反复强化和巩固，以期进入到审题、解题的快速通道．
总之：一堂好的讲评课，并非以讲解完试卷上的所有试题为终结，而是要充分利用好试题以及学生在解题中出现的问题，引导学生做进一步的反思与探索，以扩大试卷讲评的战果，提高讲评课的效率．
