函数定义域与学生的思维品质函数定义域

时间：2019-04-07 03:23:21　来源：雅意学习网本文已影响人

　　摘要：函数作为高中数学的主线，贯穿于整个高中数学的始终.函数的定义域是构成函数的三大要素之一，函数的定义域(或变量的允许值范围所组成的集合)似乎是非常简单的，然而在解决问题中不加以注意，常常会使人误入歧途.在解函数题中强调定义域对解题结论的作用与影响，对提高学生的数学思维品质是十分有益的.
　　关键词：函数定义域思维品质解题
　　思维品质是指个体思维活动特殊性的外部表现.它包括思维的严密性、思维的灵活性、思维的深刻性、思维的批判性和思维的敏捷性等品质.函数作为高中数学的主线，贯穿于整个高中数学的始终.函数的定义域是构成函数的三大要素之一，函数的定义域(或变量的允许值范围所组成的集合)似乎是非常简单的，然而在解决问题中不加以注意，常常会使人误入歧途.在解函数题中强调定义域对解题结论的作用与影响，对提高学生的数学思维品质是十分有益的.本文就常见的函数解题与函数定义域的密切解析以具体案例的形式展开论述。
　　1.函数解析式与定义域
　　函数解析式包括定义域和对应法则，所以在求函数的解析式时必须要考虑所求函数解析式的定义域，否则所求函数解析式可能是错误的.
　　案例1：某单位计划建筑一矩形围墙，现有材料可筑墙的总长度为100m，求矩形的面积S与矩形长x的函数解析式？
　　解：设矩形的长为x米，则宽为(50－x)米，由题意得：S=x(50-x)
　　故所求函数的解析式为：S=x(50-x)．
　　如果解题到此为止，则本题的函数解析式还欠完整，缺少自变量x的范围.也就说学生的解题思路不够严密.因为当自变量x取负数或不小于50的数时，S的值是负数，即矩形的面积为负数，这与实际问题相矛盾，所以还应补上自变量x的范围：00)在R上适用，而在指定的定义域区间[p,q]上，它的最值应分如下情况：
　　⑴ 当时，y=f(x)在[p,q]上单调递增函数f(x)min=f(p),f(x)max=f(q)；
　　⑵ 当时，y=f(x)在[p,q]上单调递减函数f(x)max=f(p),f(x)min=f(q)；
　　⑶ 当时，y=f(x)在[p,q]上最值情况是：f(x)min= ，
　　f(x)max=max{f(p),f(q)}．即最大值是f(p),f(q)中最大的一个值.
　　故本题还要继续做下去：∵-2≤1≤5 ∴f(-2)=(-2)2-2×(-2)-3=-3
　　f(5)=52-2×5-3=12
　　∴f(x)max=max{f(-2),f(5)}=f(5)=12
　　∴函数y=x2-2x-3在[-2，5]上的最小值是-4，最大值是12．
　　这个例子说明，在函数定义域受到限制时，若能注意定义域的取值范围对函数最值的影响，并在解题过程中加以注意，便体现出学生思维的灵活性.
　　3.函数值域与定义域
　　函数的值域是该函数全体函数值的集合，当定义域和对应法则确定，函数值也随之而定.因此在求函数值域时，应注意函数定义域.
　　案例3：求函数的值域．
　　错解：令t= ,则2x=t2+3
　　∴y=2(t2+3)-5+t=2t2+t+1=
　　故所求的函数值域是．
　　剖析：经换元后，应有t≥0，而函数y=2t2+t+1在[0,+∞)上是增函数，
　　所以当t=0时，ymin=1．
　　故所求的函数值域是[1, +∞）．
　　以上例子说明，变量的允许值范围是何等的重要，若能发现变量隐含的取值范围，精细地检查解题思维的过程，就可以避免以上错误结果的产生.也就是说，学生若能在解好题目后，检验已经得到的结果，善于找出和改正自己的错误，善于精细地检查思维过程，便体现出良好的思维批判性。
　　4.函数奇偶性与定义域
　　判断函数的奇偶性，应先考虑该函数的定义域区间是否关于坐标原点成中心对称，如果定义域区间是关于坐标原点不成中心对称，则函数就无奇偶性可谈.否则要用奇偶性定义加以判断.
　　案例4：判断函数y=x3,x∈[-1,3]的奇偶性．
　　解：∵2 ∈[-1,3]而-2 [-1,3]
　　∴ 定义域区间[-1,3]关于坐标原点不对称
　　∴ 函数y=x3,x∈[-1,3]是非奇非偶函数．
　　若学生像以上这样的过程解完这道题目，就很好地体现出学生解题思维的敏捷性.
　　如果学生不注意函数定义域，那么判断函数的奇偶性得出如下错误结论：∵ f(-x)=(-x)3=-x3=-f(x)∴函数y=x3, x∈[-1,3]是奇函数．
　　错误剖析：因为以上做法是没有判断该函数的定义域区间是否关于原点成中心对称的前提下直接加以判断所造成，这是学生极易忽视的步骤，也是造成结论错误的原因.
　　5.结束语
　　综上所述，在求解函数解析式、最值(值域)、单调性、奇偶性等问题中，若能精细地检查思维过程，思辨函数定义域有无改变(指对定义域为R来说)，对解题结果有无影响，就能提高学生质疑辨析能力，有利于培养学生的思维品质，从而不断提高学生思维能力，进而有利于培养学生思维的创造性.
　　参考文献
　　[1]严士健、王尚志等, 普通高中课程标准实验教科书数学1（必修）
　　[2]罗增儒, 数学解题学引论

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