偶然中的必然的意思 [偶然之中的必然]
时间：2019-02-08 03:13:20 来源：雅意学习网 本文已影响 人 
1.问题的提出 前不久，我在高三一轮复习中遇到这样一道习题： 一束光线从点F（-1，0）出发，经直线l:2x-y+3=0上点P反射后，恰好穿过点F（1，0）.
（1）求点F关于直线l的对称点F′的坐标；
（2）求以F、F为焦点且过点P的椭圆C的方程；
（3）设直线l与椭圆C的两条准线分别交于A、B两点，点Q为线段AB上的动点，求点Q到F的距离与到椭圆C右准线的距离之比的最小值，并求取得最小值时点Q的坐标.
2.问题的解决
（1）设F′（a，b），则•2=-12•-+3=0，解之得a=-b=，∴F′点坐标为（-，）.
（2）∵2a=PF+PF=PF′+PF==2，∴a=，a=2.
又∵c=1，∴b=1，∴椭圆C的方程为+y=1.
（3）∵椭圆C的准线为x=±2，∴线段AB的方程为y=2x+3，-2≤x≤2.
设Q（t，2t+3）（-2≤t≤2），点Q到椭圆C右准线的距离为d，
则====
∵t∈［-2，2］且2-t≠0，∴2-t∈（0，4］，∴∈［，+∞）.
当=即t=-时，取得最小值，此时点Q的坐标为（-，）.
通过步步为营，层层递进，尤其在解决第三小问时充分展现了解析几何的本质思想――用代数的方法研究几何问题，问题到此已经得到了圆满解决，解法严谨而不失精彩.然而我没有止步于此，而是通过观察到的一个有趣的现象展开了一系列的思考和探究.
3.问题的延伸
我的疑问源于第三小问的答案：取得的最小值即为椭圆C的离心率，而此时点Q即为点P，这仅仅是巧合吗？如果说这不是巧合的话，又应该用什么原理来解释这个现象呢？
带着这个疑问，我重新回顾了此题所呈现出的特殊几何特征：P是直线l上与F、F距离之和最小的点，则以F、F为焦点且过点P的椭圆C与直线l有且只要一个公共点P，即椭圆C与直线l是相切的位置关系，因此线段AB上任取一点不是在椭圆外，就是在椭圆上（即为点P）.根据椭圆的第二定义可知，椭圆上的点到焦点和相应准线的距离之比为椭圆的离心率，所以=e=，根据结果很容易让人得到这样一个猜想：椭圆外的点到焦点和相应准线的距离之比大于椭圆的离心率；类似的，椭圆内的点到焦点和相应准线的距离之比小于椭圆的离心率.
事实是不是这样呢？
4.问题的探究
对于椭圆而言，定义是“源”，是根本依据，方程是“形”，是表达方式，为了验证猜想正确与否，我从这两个方面展开了探究.
4.1椭圆的定义
鉴于此题所要探索的结论形式上类似椭圆的第二定义，因此，探究首先从定义开始.
椭圆的第一定义：平面内与两定点F，F的距离的和等于常数（大于|FF|）的点的轨迹叫椭圆。换而言之，椭圆上的点与两定点F，F的距离的和等于常数2a（2a＞|FF|）.
推论1：椭圆内的点与两定点F，F的距离的和小于常数2a，而椭圆外的点与两定点F，F的距离的和大于常数2a.
证明：设点P为椭圆内任意一点，延长FP与椭圆交于点Q，
则在△PQF中，PF＜PQ+QF，
∴PF+PF＜PF+PQ+QF=QF+QF=2a.
即椭圆内的点与两定点F，F的距离的和小于常数2a.
同理可证，而椭圆外的点与两定点F，F的距离的和大于常数2a.
椭圆的第二定义：到定点的距离与到定直线的距离之比是常数e（定点不在定直线上），且e∈（0，1）的点的轨迹叫椭圆.也就是说，椭圆上的点到焦点和相应准线的距离之比为椭圆的离心率e.
推论2：椭圆内的点到焦点和相应准线的距离之比小于椭圆的离心率，椭圆外的点到焦点和相应准线的距离之比大于椭圆的离心率.
证明：设点P（x，y）为椭圆内任意一点，则由推论1知：PF+PF＜2a
即+＜2a
移项得＜2a-……①
∵2a-＞0
∴①式两边平方并化简得a＜a-cx=c（-x）
∵点P在椭圆内，∴-x＞0，∴＜.
即椭圆内的点到焦点和相应准线的距离之比小于椭圆的离心率.同理可证，椭圆外的点到焦点和相应准线的距离之比大于椭圆的离心率.
通过对椭圆两个定义的拓展和两个推论的证明，我之前的猜想得到了证明，原题的答案绝不是巧合.
4.2椭圆的方程
椭圆的标准方程很有“数学美”，对称、和谐.以焦点在x轴上的椭圆为例，它的标准方程为+=1（a＞b＞0），由曲线和方程的对应关系可知，椭圆上任意一点的坐标必然满足此方程.
推论3：若点P（x，y）为椭圆+=1（a＞b＞0）内一点，则必有+＜1，反之若点P（x，y）在椭圆+=1（a＞b＞0）外，则必有+＞1.
证明：设点P（x，y）为椭圆+=1（a＞b＞0）内任一点，则椭圆上必存在Q（x，y）满足x=x，同时∵点P在椭圆内，∴|y|＞|y|，
同理可证，若点P（x，y）在椭圆+=1（a＞b＞0）外，则必有+＞1.
只要知道点与椭圆的位置关系，推论3就可以给出一个明确的代数式载体，然后就可以采用代数的方法解决相关的问题.利用推论3的结论可以很方便地证明推论2，推导如下：
设点P（x，y）为椭圆内任意一点，则由推论3知：+＜1，∴y＜b（1-）.
∴＜=====e
∴椭圆内的点到焦点和相应准线的距离之比小于椭圆的离心率.同理可证，椭圆外的点到焦点和相应准线的距离之比大于椭圆的离心率.
利用椭圆的标准方程和相关推论，得到了和之前相同的结论.
5.问题的本质
回顾这个问题，我认为探究的价值在于两方面.一方面，此题从几何角度看实际上是平面区域“线性”规划问题，只是此处的“线”非直线而已，被“线”分隔开的不同区域必然呈现不同的代数和几何特征.另一方面，椭圆的定义和方程中给出的都是等式，而通过它们得到的推论都是不等式，等式和不等式是代数中最基本也是最重要的两种关系，在探究的过程中这两种关系呈现出的相互印证和统一体现了数学的严谨之美.
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