极限挑战第三季【巧用极限法速解选择题】
时间：2019-01-30 03:41:49 来源：雅意学习网 本文已影响 人 
在物理解题方面,除了常规的分析、综合等方法之外,还有一些非常规的方法。本文想通过三个较典型的例子，让读者领略一下其中极限法的的神奇和精妙之处。 例1 有三个体积和形状完全相同的物体浮在某液面上，其中a物体浮出液面只有一小部分，而b物体恰好浮出一半，c物体浮出液面一大半。把所有浮出液面的部分去掉以后，出现的现象是( )
A.a物体浮出液面的部分最多。
B.b物体露出液面的部分最多。
C.c物体露出液面的部分最多。
D.条件不足,无法判断。
这个题目并不是什么新题目,在众多的杂志上,有不少中学老师提出了自己的解法。其中有一位作者还自吹他所采用的赋值法是最快的方法。其实它和极限法相比真是小巫见大巫。
为了能进行比较,我们将分别用常规方法和极限来解。
解法1 (常规分析法)
先把这个选择题转化为一般的问题。设某一密度为ρ1的物体浮于密度为ρ2的液面上。假定这个物体是一个底面积为 S，高为h的圆柱体，并设浸没在液面下面的部分长度为x，露出液面部分的长度为y， 则我们要问：去掉浮出液面的长度为y的那部分以后，剩余部分的物体露出液面的长度为多少？物体密度与液体密度的比值为多少时，第二次露出液面的部分为最多？
根据物体的平衡条件有浮力等于重力。即ρ2Sxg=ρ1Shg，所以有x=ρ1h/ρ2，（1）
y=h-x=(ρ2-ρ1)h/ρ2。（2）
去掉露出液面部分的物体以后，物体的总长度为x。设第二次浸没在液面下面的部分长度为x′，露出液面部分的长度设为y′，根据同样的平衡条件，可以得到：x′=ρ1x/ρ2。（3）
y′=x-x′=(ρ2-ρ1)ρ2x，即y′=(ρ2-ρ1)ρ1ρ22・h=hρ22・(ρ2-ρ1)ρ1=k・z。（4）
在4式中k=h/ρ22,z=(ρ2-ρ1)ρ1=ρ2ρ1-ρ�2�1。
［实际上只要在（1）、（2）两式中把x换成x′，y换成主y′，h换成x就可以得到（3）、（4）两式］。
由（4）式可知，因ρ2,h均为常量，只有ρ1为变量。所以，要求出ρ1取什么值时，y′取极大值，只要求出何时z取极值即可。显然ρ2ρ1-ρ�2�1=14ρ22-(ρ1-12ρ2) 只有当ρ1= 12ρ2时，此式才能取极大值（此时，x=y=h/2）。由此可得y′的极大值为h/4。事实上z=(ρ2-ρ1)ρ1=ρ2ρ1-ρ�2�1是以ρ2/2为中心对称轴，开口向下的抛物线。当ρ1=0或ρ1=ρ2时z都等于零，从而y′也为零。 由此可以得出，在题目给定的四个选项中，只有B是正确的。此法虽然分析得很透彻，但是一个选择题，如果要这样做的话，就要花很长时间。
解法2 （极限法）
题目中既然给出了a物体只露出一小部分，到底露出多少它没有给出。既然如此，我们可以采用极限法的思想，假定露出的部分趋向于零（这完全没有违反题中的条件），这样去除露出的部分也就等于没有去除。所以它仍然只露出无限小的一部分。同样，题中给出物体c露出液面一大部分，到底多少它没有说。既然如此，我们就可以假定它几乎全部露出，而浸没在液面下面的也就几乎为零了。这样去除液面上的那部分之后，剩下的就几乎没有了，浮出液面的那部分也就可以不计。而物体b本身的长度题目是没有告诉的，因此，这就意味着不管多长它总是露出一半，于是去掉一半以后当然还是露出剩余总长度的一半，即露出最初长度的1/4。所以只有物体b露出的最多，即选项B是正确的。用此法解题瞬间即能完成。
例2 杠杆两端挂有物体a和物体b，a、b离开支点O的距离分别为La和Lb，杠杆处于平衡状态。现在如果把这两个物体放入两个盛有同种液体的杯子中并都浸没在液体里。则杠杆的平衡状况是( )
A.继续保持平衡。
B.杠杆将向逆时针旋转。
C.杠杆将向顺时针旋转。
D.条件不足无法判断。
解法1(常规分析法)
设a,b两物体的密度分别为ρ�a,ρ�b，体积分别为V�a,V�b，重力分别为G�a,G�b。液体的密度为ρ。由于开始时杠杆处于平衡状态，所以根据平衡条件有：G�aLa=G�bLb，（1）
或者ρ�aV�aLa=ρ�bV�bLb。（2）
浸没在液体里面之后，物体a和物体b都受到重力、浮力和绳子的拉力三个力的作用。设绳子对物体a、b的拉力分别为F′�a,F′�b，物体a、b受到的浮力分别为f�a,f�b。物体a、b对对左右两个绳子的拉力分别为 F�a,F�b（当然这个拉力也等于绳子拉杠杆的力）。由牛顿第三定律可知：
F�a=F′�a,F�b=F′�b。（3）
由于物体a和物体b都处于平衡状态，所以有：G�a=F′�a+f�a,G�b=F′�b+f�b。（4）
杠杆左右两边拉力产生的力矩分别是F′�aLa,F′�bLb。利用（3）和（4）可知
F′�aLa>G�aLa-f�aLa=G�aLa-ρV�agLa,
F′�bLb=G�bLb-f�bLb=G�bLb-ρV�bgLb（5）
若F′�aLa>F′�bLb，也即G�aLa-ρV�agLa>G�bLb-ρV�bgLb。则此时杠杆必定向左边倾斜或做逆时针旋转。由（1）式可把此不等式化为ρV�agLab或者V�aLa/V�bLb 本文为全文原貌 未安装PDF浏览器用户请先下载安装 原版全文 解法2（极限法）
先假定左边物体密度大于右边的密度。由于不知道左边物体的密度到底是多大，不妨设想左边物体的密度非常大，以至于大到无穷大，此时左边物体的体积将会变得无穷小，这导致浸没在液体里以后受到的浮力也会无穷小。而右边的物体受到的浮力却是有一定数值的，这样杠杆当然会朝左边倾斜。反之，若右边的物体密度远大于左边，以至于可以认为是无穷大时，体积就会无穷小，右边受到的浮力也是无穷小，而左边是有一定浮力的，所以杠杆将向右边倾斜。可以肯定，当两边密度满足一定的关系时杠杆将仍然保持平衡（至于什么关系，两者密度是否相等才保持平衡我们暂时可以不予考虑，以节省时间）。我们只要知道，根据极限法，向左倾，向右倾或继续保持平衡这三种可能都是存在的。到底出现哪一种情况由左右两边的物体的密度而定。由于题目中没有给定密度，所以无法判断究竟出现哪一种情况。于是我们只能选择D。用此法，在一瞬间就可完成此题，3s都不要。
例3 有甲、乙两种氨水溶液，甲的浓度或质量分数是10%，乙的质量分数是20% ，则把相同体积的这两种溶液混合以后，它的浓度或质量分数η是( )
A.η20%。
此题如果用常规方法做将非常麻烦,甚至无从下手。而如果采用极限法将很快解决。
设甲乙两种溶液的密度分别为ρ1、ρ2，体积均为V，则混合后溶质的总质量为(0.1ρ1V+0.2ρ2V),溶液的总质量为(ρ1V+ρ2V),两者的比值即为混合溶液的质量分数,即η=(0.1ρ1+0.2ρ2)/ (ρ1+ρ2) 。氨水的质量分数越大,氨就越多,其密度就越小.所以有ρ21, 在η的表达式中，分子分母同除以ρ1可得η=(0.1 +0.2ρ2/ρ1)/ (1+ρ2/ρ1)，因为ρ21,所以其比值ρ2/ρ12/ρ12/ρ1=0和ρ2/ρ1=1分别代入η的表达式可以得10% 本文为全文原貌 未安装PDF浏览器用户请先下载安装 原版全文
