【由高考试题谈利用导数解题】高阶导数公式
时间：2019-01-28 03:29:56 来源：雅意学习网 本文已影响 人 
导数及其应用是新课标的新增内容,也是目前中学数学与高等数学的一个衔接点。由于在高等数学中导数是研究函数性态的一个极为重要的工具,因而在高考中对导数知识的考查也是很自然的事。在实施新课标的地区的高考试题中,都出现了关于导数知识的题目,但统计显示考生在这方面的得分偏低。在平时教学中,中等以上的考生能够利用导数求曲线的切线、函数的极值和最值,判断函数的单调性等。但什么时候可以利用导数来解题,如何利用导数来解决相关问题,学生在这方面的能力仍有待加强。下面从几方面谈利用导数进行解题。
一、仔细分析题目,善于总结利用导数解题方法
波利亚《怎样解题》中明确指出:拿到一道题目,先详细读懂题目意思,然后回顾题目所涉及的知识和方法,以前是否遇过相类似的问题、能否进行知识和方法迁移等。因此,认真分析题目,总结方法思路非常重要。
1.题目有明显的提示
如切线、极大(小)值、最大(小)值、增(减)函数等字眼,可以首先考虑由导数切入。
例1(2004年广东高考第(19)题)设函数f(x)=|1-|,x>0.
(1)证明:当01;
(2)点P(x,y)(01时,方程f(x)=0,在[e-m,e-m]内有两个实根。
分析:着重分析第(1)问,条件给出的函数是由一个一次函数和一个自然对数组成,要解决一个不等式成立的问题,显然如用传统的纯解不等式的方法是很难的,这时利用导数很快得以解决。因为函数f(x)=x-ln(x+m),x∈(-m,+∞)连续,且f′(x)=1-,令f′(x)=0,得x=1-m当x∈(-m,1-m)时,f′(x)f(1-m);当x∈(1-m,+∞)时,f′(x)>0,f(x)为增函数,f(x)>f(1-m);根据函数极值判别方法,为f(1-m)=1-m为极小值,x∈(-m,+∞)而且对都有f(x)≥f(1-m)=1-m.故当整数时m≤1时,f(x)>1-m≥0。
二、转变观念,增强利用导数解题的意识
导数及其应用是高中数学新教材第三册新增内容,学生在高一、高二已经形成一些传统的解题思路和方法,如利用配方、均值不等式等方法求函数的最值,利用换元法、判别式法、数形结合法等求函数的值域,有时用这些传统的方法会带来很复杂的计算或分类讨论等,而利用导数可以更加简洁地解决。
例3.求函数y=2+的值域。
分析:先求函数的定义域为[-1,6],注意到()+()=7,可采用三角代换法或数形结合法。然而,要发现()+()=7对有的学生来说就不容易,若考虑利用导数,借助函数的单调性、最值来求值域,显然较为简捷。设f(x)=2+,x∈[-1,6],则令f′(x)=-=0,得x=,又f()=,f(-1)=,f(6)=2,所以函数的值域为[,]。
三、注重逆向思维,灵活利用导数解题
已知函数的单调性、极值、最值和切线方程等,利用导数,反过来确定函数式中待定字母的值或范围等,注重运用逆向思维解决问题。
例4(2000年全国高考新课程卷试题)。设函数f(x)=-ax,其中a>0,求a的取值范围,使函数f(x)在[0,+∞)上是单调函数。
分析:f′(x)=-a,函数f(x)在上[0,+∞)是单调函数,即f′(x)≥0或f′(x)≤0或在[0,+∞)上恒成立。①由f′(x)≥0,得a≤,f(x)在[0,+∞)上是增函数,的最小值是0,所以a≤0,此与题设a>0。②由f′(x)≤0,得a≥=→1(x→+∞),f(x)在[0,∞)上是减函数,连续递增,且其值小于1,所以a>1,综上所述,当a≥1,综上所述,当a≥1时,函数f(x)在区间[0,+∞)上是单调函数。
作者单位:山西汾阳市第二高级中学
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