[利用构造法巧解高中数学问题]高中数学数列构造法

时间：2019-01-12 03:19:11　来源：雅意学习网本文已影响人

　　摘要：构造法，即构造出使用公式或定理的条件，或对所解题目赋于几何意义，或构造出题目所满足的条件的具体事例（它可以是一个图形、一个方程(组)、一个等式、一个函数、一个等价命题等）来验证结论的正确性或推翻结论等手段来解题的方法，若在解题时能灵活运用，可收到事半功倍的效果。本文将结合几个典型的例题谈一谈用构造法解题的规律，以此抛砖引玉。
　　关键词：利用；构造法；巧解数学问题
　　中图分类号：G630文献标识码：A文章编号：1003-2851（2011）04-0124-01
　　
　　一、数形结合，构造几何意义
　　例１.求函数y=的值域.
　　分析：联想斜率公式为k=，不妨把函数y理解为过定点Ｐ(2,１)和动点Ｑ(cosx,sinx)的直线Ｌ的斜率k的取值范围.而点Ｑ又在圆Ｃ：x2+y2=1上，设直线Ｌ的方程为：y－１=k(x－2)，直线Ｌ与圆Ｃ有公共点，由x2+y2=1y－１=k(x－2)消去y得：
　　(1+k2)x2+(2k-4k2)x+(4k2-4k)=0，再由
　　△＝(2k-4k2)2-4(1+k2)(4k-4k2)≥0
　　解得:0≤k≤，所以函数的值域为(0,)
　　例２.求函数y=+的最小值.
　　分析：联想两点间距离公式，可将函数变形y=+，理解为Ｍ(x，0)与Ａ(1，2)和Ｂ(3，－2)的距离之和.又点Ｍ是x轴上一动点，也即在x轴上找一点Ｍ使Ｍ与Ａ的距离和Ｍ与Ｂ的距离之和最小值。点Ａ和Ｂ分别在x轴的上、下两侧，连ＡＢ与x轴交点即为Ｍ，ＡＢ间距离就是函数的最小值，为+=2
　　注1、要灵活运用数形结合的方法，必须对解析几何中的公式及其各种变形有相当深刻的认识，也要对所求解的问题的数、式、形等特征有比较准确的把握. 敢于联想，善于联想是构造法的关键.
　　二、构造均值不等式
　　例3．求函数y=sin2xcosx的最大值
　　分析：是乘积的形式，不难想到用基本不等式，可变形为y=2sinxcos2x＝2(1－sin2x)sinx，式中两个x的余弦项一个是二次，另一个是一次，其和不是定值，再变形
　　y=2=3=
　　例4．已知a、b∈Ｒ＋，且a+b=1，求+的最大值.
　　分析：可将理解为，其中m=a+，n=1，
　　所以有≤；同理≤，
　　两式相加得+≤
　　注2：正确使用不等式求最值的关健是构造即凑定值（各项的和或积是定值），所用技巧一般有乘以一个常数、开平方（或开立方）再平方（或再立方），例3便是一典型例子；等号成立，既是正确解题的基础，也是分析问题的突破口。
　　三、构造方程与函数
　　例5．已知(z－x)2－4(x－y)(y－z)=0，求证x，y，z成等差数列.
　　分析：由已知可知，关于t的方程(x－y)t2+(z－x)t+(y－z)=0有两个相等的实根，易验证t１=t2=1是方程的根.由韦达定理
　　1=t１・t2即x－y＝y－z，也即x，y，z成等差数列.
　　例6．已知：(x+2y)5+x5+2x+2y=0，求x+y的值。
　　分析：所给条件是一个二元五次方程，显然不可能把x、y解出来，可在整体上处理所给条件为：(x+2y)5+(x+2y)=-(x5+x)……（＊），令f(t)=t5+t，则f(x+2y)=－f(x)又函数f(t)满足 f(－t)=－f(t)，所以f(x+2y)=f(－x)，又f(t)是单调递增函数，所以有x+2y=－x，即x+y=0
　　四、构造几何图形
　　例7．记f(x)=，a>b>0，则|f(a)-f(b)| 本文为全文原貌未安装PDF浏览器用户请先下载安装原版全文

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