函数的对称性【函数的对称性在高考题中的应用】

时间：2019-01-07 03:34:08　来源：雅意学习网本文已影响人

　　函数的对称性是函数的一个重要性质，也是高考考查的重点与热点。图像的对称关系充分体现了数学之美，利用对称性往往能简捷地解决一些数学问题。下面以2009年的高考试题为例，介绍有关题型。
　　一、利用二次函数的对称性
　　例1：（福建卷）函数f（x）=ax+bx+c（a≠0）的图像关于直线x=-对称，据此可推测，对任意的非零实数a、b、c、m、n、p关于x的方程m［f（x）］+nf（x）+p=0的解集不可能是（）.
　　A.{1，2}B.{1，4} C.{1，2，3，4}D.{1，4，16，64}
　　命题立意：本题主要考查函数的对称性与方程的根的内容。
　　解析：由于f（x）的图像关于直线x=-对称，那么方程f（x）=0的根就关于直线x=-对称，从而方程m［f（x）］+nf（x）+p=0的根也应是关于直线x=-对称的。据此，若解集为{1，2}，则f（x）的图像关于直线x=对称，从而排除A；若解集为{1，4}，则f（x）的图像关于直线x=对称，从而排除B；若解集为{1，2，3，4}，则f（x）的图像关于直线x=对称，从而排除C；故选D。
　　二、利用f（x）的图像关于x=a的对称性
　　例2：（山东卷）已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x-4）=-f（x），且在区间［0，2］上是增函数，若方程f（x）=m（m＞0）在区间［-8，8］上有四个不同的根x、x、x、x，则x+x+x+x?摇?摇?摇?摇.
　　命题立意：本题是函数图像关于直线x=2对称的性质的综合运用，考查代数推理能力，考查分析问题，解决问题的能力及数形结合、化归转化、分类讨论等数学思想方法。
　　解析：由f（x-4）=-f（x）可得f（4-x）=f（x），故函数图像关于直线x=2对称，又函数f（x）在［0，2］上是增函数，且为奇函数，故f（0）=0，故函数f（x）在（0，2］上大于0，根据对称性知函数f（x）在［2，4）上大于0.同理可推知函数f（x）在（4，8）上小于0.故在区间（0，8）上方程f（x）=m（m＞0）的两根关于直线x=2对称.故此两根之和等于4.根据f（x-4）=-f（x）及f（x-8）=-f（x-4）=f（x）可知函数f（x）以8为周期，故在区间（-8，0）上方程f（x）=m（m＞0）的两根关于直线x=-6对称，此两根之和等于-12，综上，四个根之和为-8.
　　三、利用奇（偶）函数的对称性
　　例3：（辽宁卷）已知偶函数f（x）在区间［0，+∞）上单调增加，则满足f（2x-1）＜f（）的x取值范围是（）。
　　A.（，） B.［，）C.（，）D.［，）
　　命题立意：本小题主要考查偶函数图像的对称性、单调性和抽象函数比较大小的问题。本题的难点在于能否体会到偶函数图像的对称性和单调性，从而得到距离对称轴越远，则对应的函数值越大的结论。
　　解析：由题意可知|2x-1|＜，解得＜x＜，故选A。
　　四、利用三角函数的对称性
　　例4：（全国卷Ⅰ）如果函数y=3cos（2x+?准）的图像关于点（，0）中心对称，那么|?准|的最小值为（）。
　　A.B.C. D.
　　命题立意：本小题中的函数y=3cos（2x+?准）的对称中心是其图像与x轴的所有交点，由此可得出关于?准的方程，进而确定|?准|的最小值。
　　解析：依题意可得3cos（+?准）=0，+?准=kπ+，?准=kπ-，（k∈z），因此|?准|的最小值是，选A。
　　例5：（天津卷（文））已知函数f（x）=sin（ωx+）（x∈R，ω＞0）的最小正周期为π，将y=f（x）的图像向左平移|φ|个单位长度，所得图像关于y轴对称，则φ的一个值是（）。
　　A. B. C. D.
　　命题立意：本小题主要考查三角函数的图像和性质，涉及三角函数的周期性、对称性、奇偶性及图像的变换等知识点，综合性较强。
　　解析：由最小正周期为π得ω=2，于是y=sin（2x+），其图像向左平移|?准|个单位长度后所对应的函数的解析式为y=sin（2x++2|?准|），由于该函数的图像关于轴对称，所以它是偶函数，所以+2|?准|=kπ+，k∈Z，所以|?准|=+，k∈Z，故选D。
　　总之，函数的对称性还有很多，在此不一一列举。希望大家在解题中注意总结，以提高分析问题和解决问题的能力。
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