高中四个均值不等式 应用均值不等式常规方法巧解竞赛题
时间：2019-01-06 03:23:49 来源：雅意学习网 本文已影响 人 
摘 要： 均值不等式试题是历年竞赛题的热点内容，利用均值不等式解题的关键是创设应用均值不等式的条件，配合一定的转化、变形、构造技巧，这样可使复杂问题简单化，收到事半功倍的效果。依赖常规方法，转变解题思维，竞赛题也会迎刃而解。
关键词： 均值不等式 常规方法 巧解 竞赛题
江苏省一级刊物《高中数学教与学》2005年第九期《美妙的构造技巧――对偶法》一文，让人耳目一新，感叹其构造之精妙，思维之独到。文中涉及问题多是竞赛题，作者通过构造对偶式的方法，使问题轻而易举得以解决，给人启迪。历年全国乃至世界级竞赛题中涉及均值不等式的试题较多，考生上手比较困难，正确率低。为帮助考生解决竞赛中的实际困难，提高竞赛得分率，下面我用均值不等式常规方法巧解竞赛题中均值不等式试题。
定理（均值不等式）：若a＞0，b＞0，则有≥。
推论1：若a＞0，b＞0，且a+b=L（其中L为常数），则有ab≤（当且仅当a=b时，取得最大值）。
推论2：若a＞0，b＞0，且ab=L（其中L为常数），则有a+b≥2（当且仅当a=b时，取得最小值2）。
由此可见，利用均值不等式解决问题时一定要注意其成立的条件，即“一正，二定，三相等”，这三个条件缺一不可。
均值不等式及其推论是中学数学的重要内容，有着十分广泛的应用，它的证明比较容易，这里不再累述。
但值得注意的是学生对其理解和把握总感到困难，究其原因有三：第一，学生对均值不等式理解、掌握不到位，不能正确使用均值不等式；第二，由于许多能利用均值不等式解决的问题往往比较抽象，学生想不到，没有利用均值不等式解决问题的意识；第三，往往能利用均值不等式解决的问题，特别是竞赛题，通常需要转化、变形，甚至构造，而这些对学生基础要求很高，需要丰富的想象能力，这使得大多数学生望而却步。
然而，一旦构造成功，即使是基础一般的学生，也可以看懂利用均值不等式解决的问题。所以，利用均值不等式解题又总是让人着迷。
例1：（第26届独联体奥林匹克试题）
求证：对任意实数a＞1，b＞1都有不等式+≥8。
分析：原式左边在a＞1，b＞1这一条件下，有a-1＞0，b-1＞0，所以可看成是两正数之和，而右边是常数，从而想到使用均值不等式。
证明：∵a＞1，b＞1
∴a-1＞0，b-1＞0
∴+（b-1）≥a①
+（a-1）≥b②
①+②得+≥8
当且仅当=b-1=a-1，即a=b=2时，取等号.
例2：（第24届全苏竞赛题）
已知a，a，…a∈R，且a+a+…a=1，
求证：++…+≥。
分析：由于a，a，…a∈R，且a+a+…a=1，而所要求证的不等式右边是常数，由已知不难发现=，从而对左边施行均值不等式。
证明：∵+≥a①
+≥a ②
……
+≥a n
①+②+…+n得++…+≥成立，
当且仅当a=a=…=a时，不等式取等号.
例3：（亚太地区竞赛题）
已知a，a，…a∈R，b，b，…b∈R（i=1，2，…，n），且a=b，
求证：≥a
分析：由于a，a，…，a∈R，b，b，…，b∈R，不等式左边每一项都可以看成正数，从而联想到使用均值不等式。
证明：∵a，b∈R
+（a+b）≥a
从而有≥（a+b）≥a
又a=b
从而≥a.
点评：本题的证明联想到均值不等式，注意到左边每一项都有分母，从而考虑利用均值不等式去分母，使问题得证。
例4：（第36届IMO竞赛题）
设a，b，c∈R，且abc=1，
求证：++≥
证明：∵a，b，c∈R，且abc=1
∴==
同理：=，=
又+（+）≥①
+（+）≥ ②
+（+）≥ ③
①+②+③得
++≥（++）=（bc+ac+ab）≥=
从而原不等式成立（当且仅当a=b=c=1时不等式取等号）.
点评：本题在此仅提供利用均值不等式的解法。
例5：已知x，x，…，x∈R且x+x+…+x=1（n∈N，2≤n）
求证：+++…+≥。
分析：由于已知x，x，…，x∈R且x+x+…+x=1
所以（1-x），（1-x），…，（1-x）均为正数，可以考虑利用均值不等式，去分母来证明。
证明：∵x，x，…，x∈R且x+x+…+x=1
∴x∈（0，1） （i=1、2、…、n）
∴+≥①
+≥ ②
……
+≥ n
①+②+…+n得
+++…++≥
从而：+++…+≥成立.
（当且仅当x=x=…=x=时取等号）
例6：若α、β、γ为锐角，且cosα+cosβ+cosγ=1
求证：cotα+cotβ+cotγ≥
分析：这是一个关于三角函数的问题，如果采用三角函数去化简，变形，问题将难以解决，但如果注意到α、β、γ为锐角，不难得出：
sinα+sinβ+sinγ=2，故构造平均值不等式加以证明。
证明：∵cosα+cosβ+cosγ=1
∴sinα+sinβ+sinγ=2
又设M=cotα+cotβ+cotγ=（++）-3
又：+sinα≥3①
+sinβ≥3 ②
+sinγ≥3③
①+②+③得++≥
从而M=cotα+cotβ+cotγ=++≥.
（当且仅当cosα=cosβ=cosγ=时取等号）
点评：本题得以证明的关键在于巧妙地构造+sinα≥3①
+sinβ≥3 ②
+sinγ≥3 ③
运用均值不等式，使问题得以解决。
例7：（1990年日本CMO代表第一轮选拔题）
设x、y、z∈R且x+y+z=1
求：++的最小值。
分析：本题解法很多，但均值不等式的使用，使问题轻松解决
解：∵x、y、z∈R且x+y+z=1
∴++=（++）（x+y+z）
=14+（+）+（+）+（+）
≥14+4+6+12=36
当且当y=2x且z=3x时，即x=，y=，z=时，++取得最小值36.
例8：（1998年加拿大数学奥林匹克竞赛题）
解方程：x=+。
分析：本题可采用对偶法解决，这里我给出一种简单常规解法。
解：设A=，B=，
则A+B=x①
A-B=x-1 ②
A-B=1-③
由①+③得2A=（X-）+1
从而2=（x-）+1，即（-1）=0
∴=1
解得：x=，x=（舍去）.
以上问题的解决依赖于常规方法，可见，在我们平常的教学中，以通性、通法为主，追求一种朴实的作风，让学生感到不偏不怪，让学生感到亲切，感到数学就在身边，这对培养学生学习的积极性是非常重要的。在新课程背景下，我们加强对通性、通法的研究，这无论是对指导教师教学，还是对培养学生能力，均具有重要意义。
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