【求新,求逆,求异】 今普天图逆,人有异志
时间：2019-01-05 03:25:31 来源：雅意学习网 本文已影响 人 
摘 要: 在数学习题教学中,教师应及时启发、引导学生对课本习题进行深入研究,鼓励学生从各个方面去类比、联想、延拓,从中发现一些新的成果,争取做一题、得一串、收一片,在单向、正向思维的基础上,有目的、有计划、有意识地引导学生进行多向、逆向思维,促使学生的思维向多层次、多方位发散,从而有效地培养学生的创新思维能力。
关键词:数学习题教学 创新思维能力 教学实践
新课标非常关注学生能力的培养,尤其是创新能力的培养。数学课堂教学的大部分内容都是习题教学,因此,在新一轮的教学改革中,数学教师面临的问题是:怎样通过习题教学有效地培养学生的创新思维能力?我结合自己的教学实践谈几点做法,和大家交流。
一、注重引申,拓展创新
课本中的习题都是经过精心筛选的,具有一定的典型性、代表性。教师只要求学生就题解题,收获不大,充其量不过是解决了一个问题。如果教师注意引导学生对习题加以联想、延拓,鼓励学生进行深入研究,争取做一题、得一串、收一片,就能有效开拓学生的创新思维能力。
例1【苏科版八上数学P148例2】在弹性限度内,弹簧伸长的长度与所挂物体的质量成正比。(1)已知一根弹簧自身的长度为bcm,且所挂物体的质量每增加1g,弹簧长度增加kcm,试写出弹簧长度y(cm)与所挂物体质量x(g)之间的函数关系式。(2)已知这根弹簧挂10g物体时的长度为11cm,挂30g物体时的长度为15cm,试确定弹簧长度y(cm)与所挂物体质量x(g)之间的函数关系式。
在本例探究完成后,教师应及时提出原教材中没有的新问题进行延拓:
①如果这根弹簧最多能挂200g的物体,那么你能说出自变量x的取值范围吗?
弹簧的最大长度是多少?你能说出y的取值范围吗?
②如果撇开实际意义,只告诉我们“y是x的一次函数,且x=10时,y=11;x=30时,y=15”,那么怎样确定y与x的函数关系式呢?【由此引入“待定系数法”】
③大家能总结一下这种题型的解题步骤吗?
这样及时延拓,既增强了课本习题的活力,又开拓了学生的创新思维能力。
例2【苏科版八上数学P101T`2】如图1,在△PAB中,点C,D在边AB上,PC=PD=CD,∠APB=120°,△APC与△PBD相似吗?为什么?
分析:由条件易知∠A+∠APC=∠PCD=60°,∠BPD+∠APC=120°-60°=60°,从而∠A=∠BPD,同理∠APC=∠B,故△APC∽△PBD。
解完该题后,教师可引导学生作如下拓展:如果将条件改为“如图2,在△PAB中,点C,D在边AB上,PC=PD,∠CPD=30°,∠APB=105°”,上面的结论还成立吗?若设PC=PD=1,AC=x,BD=y,请你写出y与x之间的函数关系式。
分析:这里,只是把原题中的“等边三角形”换成了“顶角为30°的等腰三角形”,学生联想到原题的解题思路就很容易得到∠A+∠APC=∠PCD=75°,∠BPD+∠APC=105°-30°=75°,从而∠A=∠BPD同理∠APC=∠B,故△APC∽△PBD,再由相似三角形对应边成比例即可得到y与x之间的函数关系式是y=。
再作进一步拓展,将上面“拓展”中的条件改为:“如图2,在△PAB中,点C,D在边AB上,PC=PD,∠CPD=α,∠APB=β”,试探索:当α、β满足怎样的关系时,上述函数关系式还成立?
分析:这里,一是把角度由具体度数换成了字母,使问题更具有一般性,二是要求学生从要探索的结论下手作反向思考。由前面的分析易得∠A+∠APC=,∠BPD+∠APC=β-α,要使函数关系式还成立,就须有△APC∽△PBD,从而∠A=∠BPD,故=β-α,即β=。
二、逆向联想、求逆创新
逆向思维能使学生对问题的本质掌握得更清楚、更深刻,是激发学生创新思维的重要因素。许多数学知识都有可逆的结构,我们在教学中应注意数学定义、定理、公式、法则与方法的逆用,特别是在习题教学中,要有意识地把具有逆反关系的习题放在一起,或引导学生探究习题的逆命题,以促进学生创新思维能力的发展。
例3【苏科版八上数学P170T11】袋中装有1个白球、1个蓝球、2个红球,它们除颜色外都相同。若从袋中摸出1个球,然后把它放回袋中并摇匀,再从袋中摸1个球。像这样有放回地从袋中先后摸球3次,至少有1次摸到红球的概率是多少?
分析:若按常规思维,画树状图列出所有等可能的64种结果,再从中找出“至少有1次摸到红球”的56种结果(需分“只有1次摸到红球”、“有2次摸到红球”、“3次摸到的球都是红球”三种情况讨论),从而得到所求事件的概率是=,这样虽能求解,但相当复杂。如果采用逆向思维,从“至少有1次摸到红球”的反面考虑,即先求“没有1次摸到红球”的概率P==,再求所求概率P=1-=。这样,通过逆向思维,简洁明了地解决了问题。
例4.已知:x=3,x=7,求x的值。
分析:本题逆用同底数幂的运算法则即可。
解:原式=x÷x=(x)÷(x)=3÷7=。
例5.填空:①1、0、-1的立方根分别是?摇?摇?摇?摇。
②一个数的立方根是它本身,这个数是?摇?摇?摇?摇。
分析:这是两个具有逆反关系的问题,如果分开让学生做,那么只有少数学生能准确完成第②题。现在把它们放在一起,大多数学生都能感受到②与①的逆反关系而正确地完成第②题。
三、变换角度、求异创新
教师引导学生从不同角度思考问题,能促使学生的思维向多层次、多方位发散,从而提高学生的创新思维能力。
例6【苏科版九上数学P19】已知:如图,在正方形ABCD中,E是BC的中点,点F在CD上,∠FAE=∠BAE。求证:AF=BC+FC。
证法一:(截长法)如图1,在AF上截取AG,使AG=AB,连接EG、EF,易证△AGE≌△ABE(SAS),可得∠AGE=∠B=90°,EG=EB,由于EC=EB,所以EG=EC,故Rt△EGF≌Rt△ECF(HL),所以FG=FC,从而AF=AG+FG=AB+FC=BC+FC。
证法二:如图2,延长AB到点H,使AH=AF,连接EH、EF,显然△AHE≌△AFE(SAS),可得EH=EF,故Rt△EBH≌Rt△ECF(HL),所以BH=FC,从而AF=AH=AB+BH=BC+FC。
证法三:(补短法)如图3,分别延长AE、DC相交于点K,显然△KCE≌△ABE(ASA),所以KC=AB,∠K=∠BAE=∠FAE,从而AF=KF=KC+FC=AB+FC=BC+FC。
在数学习题教学中探求一题多解不是目的,不是提供的解法越多越好,重要的是解题后的反思总结,在多解的类比中发现合理的、简捷的解法,获得经验,形成技能,达到培养学生创新思维能力的目的。
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