[浅谈变形监测中最优自适应卡尔曼滤波方法]自适应卡尔曼滤波
时间：2019-05-17 03:30:49 来源：雅意学习网 本文已影响 人 
摘要：笔者对三种自适应卡尔曼滤波进行对比，用实测数据来判断其逼近程度，分析了变形监测数据处理中的最优自适应卡尔曼滤波方法，供同行参考。 关键词：自适应卡尔曼滤波；方差补偿；变形监测；极大验后估计
1三种自适应卡尔曼滤波的基本原理
1.1 基于极大验后估计原理的自适应卡尔曼滤波
极大验后估计自适应Kalman滤波就是根据每次测出的更新信息，推算出动态噪声和观测噪声的统计特性，对噪声向量和协方差阵不断进行修改，使模型最优，得到最佳滤波值。它适用于一般的线性离散时变系统，递推计算简单，该方法的数学模型为
（1）
（2）
（3）
（4）
一般情况下噪声向量和噪声协方差阵都是未知的，这时我们用滤波估值X(j|j)和预报值X(j|j-1)近似代替计算复杂的平滑估X(k|j)和X(k|j-1)。
1.2 基于方差分量估计原理的自适应卡尔曼滤波
基于方差分量估计原理的自适应卡尔曼滤波是一种利用预报残差计算模型的动态噪声方差分量的自适应滤波算法。
先把一步预测值X(k|k-1)作为伪观测值，利用观测方程可以得出预报残差的表达式：
（5）
其中的L(k)和X(k|k-1)的方差为：
；（6）
其中 和 分别为L0和X0的方差分量
预报残差的方差为
=（7）
通过平差可得
=
= （m为观测值个数） （8）
如果将实际观测值L的方差作为已知值，则可按上式求解出伪观测值的方差分量 的估值为
（9）
根据以上推导可知利用预报残差在假设观测值的方差已知的情况下，可以利用上式估计预测值的方差分量，有方差分量不断的对伪观测值方差进行修正，从而使动态噪声和观测噪声达到匹配状态。这一方法增加的计算量不大，能有效地克服滤波的不稳定性。
1.3 方差补偿自适应卡尔曼滤波
方差补偿自适应卡尔曼滤波就是在对观测数据进行滤波的同时，对动态噪音方差进行时时修正，提高模型精度，用方差补偿降低最佳估计值误差，使其更接近于真实值，其模型如下：
设 = =[ ],式中，m=1，…，N；k=1，…，n,上标k+i，m有关。假定 在观测时间段k+1，k+2…k+N上为常值对角阵，即
= = （10）
并记diag = 。注意到E( )=trace[E( * )]= ，于是记 = + （11）
其中， 为零均值随机变量，r=1，…，N。令（12）
又记E= ； （13）
则有：E=O*diag + ;（14）
上式为关于diag 的线性方程组。当N 时，有唯一解。记diag 的LS估计为diag =( )（15）
2实验研究
2.1 研究方案
本文采用某商住楼基坑边坡位移监测数据，该基坑边坡共观测了7期，通过对边坡位移点S1所采集的数据分别采用极大验后估计自适应卡尔曼滤波、方差分量估计自适应卡尔曼滤波和方差补偿自适应卡尔曼滤波进行滤波，通过对滤波后的数据进行对比，分析不同滤波方法所产生的残差的大小，残差最小的为模型逼近程度最好。
2.2 实验数据分析
表1监测点S1原始数据与极大验后估计自适应卡尔曼滤波数据
表2监测点S1原始数据与方差分量估计自适应卡尔曼滤波数据
表3监测点S1原始数据与方差补偿自适应卡尔曼滤波数据
说明：本文中的原始实验数据前五位均用XXXXX表示，以防止原始数据被别人抄袭
3 结论
从表1中可以看出极大验后估计原理自适应卡尔曼滤波对观测值进行滤波后得到残差都为0.000037，其具有一致性，因此对于那些观测条件稳定，噪音波动较小的观测数据可以使用极大验后估计原理自适应卡尔曼滤波进行改正。
极大验后估计自适应卡尔曼滤波是在噪声均值向量和噪音协方差阵未知时，通过估计每一时刻动态噪声和观测噪声的均值及其协方差来不断对现有的模型进行修正，有效的减少了偏差，提高滤波值的质量，但这一方法在一定程度上增加了计算量。
从表1中可以看出极大验后估计原理自适应卡尔曼滤波对观测值进行滤波后得到残差都为0.000037，其具有一致性，因此对于那些观测条件稳定，噪音波动较小的观测数据可以使用极大验后估计原理自适应卡尔曼滤波进行改正。
用表3的残差数据比较表1中对应的残差数据，如以第二期为例0.000006
