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    融会贯通与举一反三【举一反三,融会贯通】

    时间:2019-04-05 03:20:09 来源:雅意学习网 本文已影响 雅意学习网手机站

      孔子《论语·述而》:“举一隅,不以三隅反,则不复也。”  体现了孔子“举一反三”的创新思想,孔子重视的是学生的主体性,强调实际属于学生自己的体验。而“不启”“不发”“不复”则更表现出了孔子的态度:拒绝被动消极的、灌输式的教学,与其这样教学生,干脆就不要教。当学生进入积极思维状态时,教师应适时诱导、引发,帮助学生打开知识的大门,端正思维的方向,达到举一反三的目的,最大限度激发学生的积极性和创造性。
      《普通高中数学课程标准》指出:数学学习不应只限于接受、记忆、模仿和练习,还应归纳类比、抽象概括、反思建构等,通过自己的主动性,力求使学习过程变成“再创造”过程,培养数学素养,提升数学能力。在学习过程中要不断地举一反三,方能融会贯通。
      一、知识生成,举一反三
      数学特级教师孙维刚在教学中坚持每道例题、每个定理、每个公式都是引导学生自己动手完成的,都是在既见树木又见森林的状况下进行的;他提倡在知识上指导学生注意追根究底,寻找知识之间的联系和规律,在比较中学习新知识,站在哲理的高度思考问题,注重联想。这充分说明了在由旧知推导、学习新知的过程中,要用好、用足旧知与新知的关系,以得到最大化的新知生成,这也正是举一反三的过程。
      在教“数列的求和”这一节时,学生已掌握了等差、等比数列的求和公式,如何引导学生在充分利用旧知的基础上,自己主动的、举一反三出一些较复杂的常见数列的求和方法,以形成整体认知。笔者是这样设计的:
      师:请同学们运用等差、等比数列的求和公式完成下面三小题:
      (1)1+3+5+…+2n-1;
      (2)1+2+22+23+…+2n-1;
      (3)1+3+5+…+2n+1。
      较复杂的数列都是由等差、等比数列等特殊数列通过一些运算符号复合而成,请同学们讨论、思考将以上数列进行简单的复合,并探究所得新数列的求和方法。
      生一:若数列{an}的通项公式为an=2n-1,n为奇数2n-1,n为偶数,求前n项和。
      析:奇数项依次成等差数列,公差为4,偶数项依次成等比数列,公比为4。应对n进行奇偶讨论,进行分组求和。解(略)
      生二:若将(1)和(2)的对应项相加,得新数列an=2n-1+2n-1, 求前n项和。
      可将这类数列适当拆开,分为几个等差、等比或常见的数列,然后分组求和。解(略)
      生三:若将(1)和(2)的对应项相乘,得新数列an=(2n-1)2n-1, 求前n项和。
      Sn=1+3·2+5·22+…+(2n-1)·2n-1 ①
      2Sn=1+3·22+5·23+…+(2n-1)·2n ②
      将①-②得:-Sn=1+2·2+2·22+2·23+…+2·2n-1-(2n-1)·2n
      ∴Sn=(2n-3)·2n+3
      师:本题是错位相减法求和,这种方法主要用于求数列{an·bn}的前n项和,其中{an}、{bn}分别是等差数列和等比数列。
      生四:若数列{an}的通项是由(1)中2n-1与(2)中2n+1乘积的倒数组成,即:an=■,求前n项和:
      Sn=■1-■+■-■+■-■+…+■-■=■1-■=■
      师:本题是裂项相消法求和,实质是将数列中的每项分解,然后重新组合,使之能消去一些项,最终达到求和的目的。如:若{an}是公差为d的等差数列,则■=■■-■。
      二、概念辨析,举一反三
      数学概念教学是数学教学的基础.在教学中往往遇见这样的情况,若提问学生概念时,则能对答如流,但运用概念解决具体问题时,学生却无从下手,我们称这种现象为对数学概念的“假性理解”。这种“假性理解”介于正确理解和错误理解之间,即对概念只是简单的记忆和表面的理解,虽能复述,但却不能抓住概念的本质特征。
      在“几何概型”的概率教学中,事件A发生的概率为:P(A)=
      ■,此公式学生很容易记忆,但“测度”为何?很多学生极易混淆,没有掌握其本质特征.我在教学中,没有过多纠缠“测度”的概念解释,而是通过对教材(苏教版必修3第102页)中“例3:在等腰直角三角形ABC中,在斜边AB上任取一点M,求AM小于AC的概率。”举一反三,让学生轻松掌握其本质。
      变式一:在等腰直角三角形ABC中,在△ABC内任取一点N,连接CN并延长交AB于M点,求AM小于AC的概率。
      变式二:在等腰直角三角形ABC中,在∠ABC内任取一点N,连接CN并延长交AB于点M,求AM小于AC的概率。
      变式三:在等腰直角三角形ABC中,在直角边BC上任取一点N,过N作NM∥AC交AB于点M,求AM小于AC的概率。
      通过这样举一反三的教学,学生易知“测度”决定于点的选取来源,效果不言而喻。
      又如在函数性质的概念教学中,对于如“函数y=f(x)满足
      f(x+2)=-f(2-x)”,学生易混淆这是反映函数的对称轴、对称中心还是周期性?这就要求教学中要举一反三,理解本质:对称轴来源于偶函数代表式f(-x)=f(x),对称中心来源于奇函数代表式f(-x)=
      -f(x),其他都是反映函数的周期性。
      三、一题多解,举一反三
      一题多解的实质是以不同的论证方式,反映条件和结论的必然本质联系。对于同一道题,从不同的角度去分析研究,举一反三,可能会得到多种不同的解法,当然,我们的目的不在于去显摆几种解法,而是通过不同的观察视角,使我们的思维触角伸向不同的方向,不同的层次,发展学生的发散思维能力、创新思维
      能力。
      题目:(2011重庆高考理第7题)已知a>0,b>0,a+b=2则y=■+■的最小值是__________。
      解法1.(基本不等式法)∵a>0,b>0,a+b=2
      ∴y=■+■=■■+■(a+b)=■5+■+■≥■5+2■=■
      当a+b=2■=■即a=■b=■时y取得最小值■。

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