正切函数与余切函数的关系【浅谈正切函数与余切函数的应用】

时间：2019-02-05 03:21:49　来源：雅意学习网本文已影响人

　　九年义务教育三年制初级中学“数学”课本中，对正切函数和余切函数的定义是这样下的：在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，ａ，ｂ，ｃ分别是∠Ａ，∠Ｂ，∠Ｃ所对的边，那么ｔａｎＡ＝＝或ｔａｎＢ＝＝，ｃｏｔＡ＝＝或ｃｏｔＢ＝＝，即一个角的正切值等于这个角的对边边长与邻边边长的比值，余切值等于这个角的邻边边长与对边边长的比值。利用这个定义，我们可以解决很多实际生活中的问题。
　　（１）可以计算物体的高度和水平宽度。例如，如图站在离树根较远的Ａ处用测角器测得树梢Ｃ处的仰角是３５°，向树根部走近１０米后到Ｂ处，测得树梢Ｃ处的仰角为４８°，求树高ＣＤ。
　　分析：利用余切函数定义，分别在Ｒｔ△ＡＣＤ与Ｒｔ△ＢＣＤ中求出ＡＤ＝ＣＤｃｏｔＡ，ＢＤ＝ＣＤｃｏｔ∠ＣＢＤ，再用关系式ＡＢ＋ＢＤ＝ＡＤ，即可求得树高ＣＤ的长。
　　解：在Ｒｔ△ＡＣＤ中，ｃｏｔＡ＝，∴ＡＤ＝ＣＤｃｏｔＡ；
　　在Ｒｔ△ＢＣＤ中，ｃｏｔ∠ＣＢＤ＝，∴ＢＤ＝ＣＤｃｏｔ∠ＣＢＤ，
　　又∵ＡＢ＋ＢＤ＝ＡＤ，
　　∴１０＋ＣＤｃｏｔ∠ＣＢＤ＝ＣＤｃｏｔＡ，
　　∴ＣＤ＝＝
　　这种方法不仅可以求出物体的高度，还可以求出河（或塘）的宽度。
　　如图，欲求河宽ＡＢ，可在岸边选定点Ｃ，使ＣＢ与ＡＢ垂直于Ｂ，测得ＣＡ与ＣＢ的夹角为?琢，走近Ｂ到点Ｄ，测得ＤＡ与ＤＢ夹角为?茁，由于Ｃ，Ｄ，Ｂ在同一直线上，根据上述方法同样可以算得ＡＢ＝。
　　（２）引申题。①一艘航船向正北方向航行，到Ａ处测得海岛Ｐ在北偏东３０°的方向，再向正北航行６千米到Ｂ处，又测得该岛在北偏东６０°方向，已知海鸟Ｐ的周围６千米的范围内有暗礁，如果航船不改变方向继续航行，有没有触礁的危险？
　　分析：根据题意得右下图，计算ＰＣ，如果ＰＣ＞６千米，那么航船安然无恙。如果ＰＣ＜６千米，那么航船就有触礁的危险。
　　解：在Ｒｔ△ＡＰＣ中，ＡＣ＝ｐｃｃｏｔＡ＝ｃｏｔ３０°＝ｐｃ
　　在Ｒｔ△ＢＰＣ中，ＢＣ＝ｐｃｃｏｔ∠ＰＢＣ＝ｐｃｃｏｔ６０°＝ｐｃ，
　　且ＡＣ－ＢＣ＝ＡＢ
　　 ∴ ｐｃ－ｐｃ＝６，算得ｐｃ＝３（千米）
　　由于３＜６，故ｐｃ＜６（千米），所以航船有触礁的危险。
　　②一艘轮船以２０�／时的速度由西向东航行，途中接到台风警报，台风中心正以４０�／时的速度由南向北移动，距台风中心２０�的圆形区域（包括边界）都属台风区。当轮船到Ａ处时，测得台风中心移动到位于点Ａ正南方向Ｂ处，且ＡＢ＝１００�。
　　若这艘轮船自Ａ处按原速度继续航行，在途中会不会遇到台风？
　　若会，试求轮船遇到台风的最初时间；若不会，请说明理由。
　　解：当台风中心由Ｂ处移到Ａ处时，用了＝＝２．５小时，而轮船由Ａ向东行驶了２０×２．５＝５０�。而５０＜２０，故轮船遇到台风袭击。
　　设轮船遇到台风袭击的最初时间是在第ｘ小时后，
　　轮船行驶到了Ｃ处，台风中心移到了Ｂ′处，那么ＡＣ＝２０ｘ，Ｂ′
　　ＡＢ′＝１００－４０ｘ，ＣＢ′＝２０，根据勾股定理，得
　　（２０ｘ）２＋（１００－４０ｘ）２＝（２０）２１＝１，ｘ２＝３．故轮船最初遇到台风的时间是轮船向东航行１小时后。
　　注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文
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