坐标伸缩变换公式 例谈坐标伸缩变换在解题中的应用
时间：2019-01-07 03:26:25 来源：雅意学习网 本文已影响 人 
一、新课程在选修4系列的《坐标系与参数方程》中介绍了有关坐标伸缩变换的概念。 定义：设点P（x，y）是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ:x′=λx λ＞0y′=μy μ＞0的作用下，点P（x，y）对应到点P′（x′，y′），则称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换。
若能充分挖掘伸缩变换φ的性质，并应用于解析几何的解题过程中，有时可以大大地减少计算量。伸缩变换φ的常见性质有：
性质1：φ保持结合性不变，即若在φ的作用下点P对应点P′，曲线f（x，y）=0对应到曲线F（x，y）=0，则点P′在曲线F（x，y）=0上的充要条件是点P在曲线f（x，y）=0上.
性质2：若在φ的作用下A，B两点对应到A′，B′，若直线AB的斜率为k，直线A′B′的斜率为k′，则k′=k.
性质3：若在φ的作用下，共线的三点A，B，C对应到共线的三点A′，B′，C′，则点C分的比等于点C′分的比.
性质4：若在φ的作用下，△ABC对应到△A′B′C′，则=λμ.
二、下面给予性质3和性质4的证明过程
性质3的证明：
设A（x，y），B（x，y），C（x，y），则A′（λx，μy），B′（λx，μy），C′（λx，μy）.
设点C分的比为k，即=k，则k==
设点C′分的比为k′，即A′C′=k′，则k′===k
性质4的证明：
设A（x，y），B（x，y），C（x，y），则A′（λx，μy），B′（λx，μy），C′（λx，μy）
则S=111λx λx λxμy μy μy?摇=λμ111xxxyyy?摇=λμS
所以=λμ
三、下面举例说明上述性质的应用
例1.北京奥运会主体育场“鸟巢”的钢结构俯视图如图1所示，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆，外层椭圆顶点向内层椭圆引切线AC、BD，设内层椭圆方程为+=1（a＞b＞0），外层椭圆方程可设为+=1（a＞b＞0，m＞1），若AC与BD的斜率之积为-，求椭圆的离心率.
解：定义伸缩变换：φ：x′=bxy′=ay，则在φ的作用下内外层椭圆分别对应圆x+y=ab和圆x+y=（mab），点A，B，C，D分别对应点A′，B′，C′，D′，如图2。
由性质1知A′C′，B′D′是圆x+y=ab的切线.
由已知kk=-，由圆的性质易知A′C′⊥B′D′，即kk=-1
由性质2得kk=k•k，从而-1=-•，
可得离心率e==.
例2.如图3，已知P是椭圆+=1（a＞b＞0）上的任意一点，O是坐标原点，=2，过M作直线交椭圆于A，B两点，且AM=BM，探索△PAB的面积是否为定值，若是，求出该定值；若不是，求出它的最大值.
解：定义伸缩变换：φ:x′=bxy′=ay，则在φ的作用下椭圆+=1对应圆x+y=ab，设点A，B，P，M分别对应点A′，B′，P′，M′，如图4：
由性质3，A′M′=M′B′，=2，故O为△P′A′B′的重心；又O为△P′A′B′的外心，从而△P′A′B′为正三角形.易得圆x+y=ab的内接正三角形的面积为定值S=ab.
由性质4，=ab，从而S==ab为定值.
例3.（2008年安徽省数学竞赛）如图5，设点A（1，1），点B，C在椭圆x+3y=4上，求S的最大值，并求出取得最大值时直线BC的方程.
解：显然点A在椭圆x+3y=4上，△ABC为此椭圆的内接三角形，
定义伸缩变换：φ:x′=xy′=y，则在φ的作用下椭圆x+3y=4对应圆x+y=4，如图6，点A（1，1）对应点A′（1，），设点B，C对应点B′，C′，则由性质1知△A′B′C′为圆x+y=4的内接三角形.
由性质4知=，所以当S最大时，S取得最大值.
由平面几何中的常见结论：圆的内接三角形中，正三角形的面积最大，并注意到∠A′Ox=60°，易得当B′（-2，0），C′（1，-）时，△A′B′C′为正三角形，S取得最大值3，故S的最大值为3，此时B（-2，0），C（1，-1），直线BC的方程为x+3y+2=0.
例4.如图7，已知抛物线C：y=2px（p＞0），过点A（p，0）的直线与抛物线C交于M、N两点，且=2，过点M，N向直线x=-p作垂线，垂足分别为P、Q，△MAP、△NAQ的面积分别记为S，S，求.
解：定义伸缩变换：φ:x′=xy′=y，则抛物线C：y=2px对应为抛物线C′：y=4px，如图8，点A对应的点仍为A，直线x=-p仍对应直线x=-p，设点M，N，P，Q分别对应点M′，N′，P′，Q′，由y=y知y=y，故P′M′与直线x=-p仍垂直，同理，N′Q′与直线x=-p也垂直.
易知点A为抛物线C′的焦点，直线x=-p为抛物线C′的准线，则M′P′=M′A，N′Q′=N′A；
由性质3知M′A∶N′A=MA∶NA=2∶1
记△M′AP′，△N′AQ′的面积分别为S′和S′，则
==×=4.
由性质4，==4.
总之，在求解解析几何问题的过程中，若能充分挖掘一些几何性质，必将减少计算量。上述的例子若用传统的方法计算量是很大的，本文通过伸缩变换，将椭圆对应为圆，将不是抛物线焦点的点转化为抛物线的焦点，增大了挖掘几何性质的可能性，计算量自然减小。
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