数值分析线性方程组的迭代法答案 [数值分析中的迭代法解线性方程组]
时间：2019-01-06 03:22:42 来源：雅意学习网 本文已影响 人 
摘 要: 现实生活中许多数学模型都可以归结为解线性方程组,线性方程组的解法有很多种,其中数值分析中迭代法是比较重要的一种。本文利用系数矩阵A的对角线上元素的和给出了线性方程组Ax=b的一种新的迭代格式。
关键词: 数值分析迭代法线性方程组
在工程技术、自然科学和社会科学中的许多问题最终都可归结为解线性方程组,因此线性方程组的求解对于解决实际问题是极其重要的。线性方程组的解法有很多种,其中数值分析中的迭代法是比较重要的一种。
迭代法的基本思想是将线性方程组:
Ax=b(其中A∈R,b∈R),(1)
经过变换构造出一个等价同解方程组:x=Mx+c,然后改写成Jacobi迭代式:
x=Mx+c(k=0,1,2,…),(2)
或者Gauss-Seidel迭代式:
x=Bx+Bx+c(k=0,1,2,…)(其中B+B=M),
选定初始向量:x=(x,x,…,x),反复不断地使用迭代式来构造一个序列:{x}(k=0,1,2,…)。如果{x}(k=0,1,2,…)收敛,它就是该方程组的近似解序列,否则它就没有实用价值。本文利用系数矩阵A的对角线上元素的和给出了系数为对称正定矩阵的线形方程组Ax=b的一种新的定常迭代格式,如果系数矩阵A为可逆的非正定矩阵,可以通过预处理转化为正定矩阵,令A:=AA,b:=Ab即可。且充分考虑加快计算速度。
一、收敛定理及证明
1.引理:如果M是一个n×n矩阵,对任意的n维向量c迭代格式(2)收敛的充分必要条件是ρ(M)0(i=1,2,…,n),λ+λ+…+λ=a+a+…+a。
I-A的n个特征值为1-(i=1,2,…,n),
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