【期望缘何相同】 在期望收益不相同的情况下
时间：2020-02-23 07:27:05 来源：雅意学习网 本文已影响 人 
近日,在讲解2011年合肥二模卷中的概率题后,有几位学生将自己的解答拿与我探讨,问题是这样的： 题目 高三年级在综合素质评价的某个维度的测评中,依据评分细则,学生之间相互打分,最终将所有的数据合成一个分数,满分100分.大于等于80分为优秀,小于80分为合格.为了解学生在该维度的测评结果,从毕业班中随机抽出一个班的数据.该班共有60名学生,得到如下的列联表.
(1)能否在犯错误的概率不超过0�10的前提下认为性别与测评结果有关系？
(2)如果想了解全年级学生该维度的表现情况,采取简单随机抽样的方式在全校学生中抽取少数一部分人来分析,请你选择一个合适的抽样方法,并解释理由；
(3)学生代表、教师代表、家长代表、教务员四人,分别对测评结果是优秀的20名学生进行检查,检查他们是否具备优秀的相关规定.4名检查人员各自独立地从这20名学生中随机抽取一名,设其中男生的人数为随机变量X,求随机变量X的分布列和期望.
对于问题(3),几位学生分别给出了如下的不同解法：
解法1：随机变量X的分布列为：
所以EX=65.
解法3 随机变量X～B(4,310),
则EX=np=65.
几位学生争论的焦点是分布列不同,可期望缘何相同？是巧合还是另有深层原因？
笔者认为解法1的分布列是正确的,解法2的分布列是错误的,原因在于没有认清问题,混淆了超几何分布与二项分布的特征.而不同的分布列却得出相同的期望这并非巧合,原因在于超几何分布与二项分布的密切联系.
先来识别这两种分布特征,它们的模型是不同的.
超几何分布：从含有M件次品的N件产品中按不放回抽样方式任取n件,其中恰有k件次品的概率为P(X=k)=CkMCn-kN-MCnN,其中k=0,1,2,…,min(M,n)
通常记为X～H(n,M,N),注意是不放回抽样.
将上述问题加以变化：从含有M件次品的N件产品中按有放回抽样方式任取n次,其中恰有k次取到次品的概率为P(X=k)=Ckn(MN)k(1-MN)n-k,其中k=0,1,2,…,n
这种分布就是二项分布
二项分布：在n次独立重复试验中,用Y表示事件A发生的次数,设每次试验中事件发生的概率为p,则n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率为P(Y=k)=Cknpk(1-p)n-k,k=0,1,2,…,n
通常记为Y～B(n,p),注意二项分布是独立重复试验.
若Y～B(n,p),则Y可看成n个相互独立的0-1分布的变量和；若X～H(n,M,N),则X可看成n个0-1分布的变量和,但这n个0-1分布的随机变量并不是相互独立的,所以在实际计算时要注意两者的区别：有放回是二项分布,不放回或一次性取出是超几何分布.
下面说明它们的期望是不同的.
对二项分布Y～B(n,p),EY=np；
对超几何分布X～H(n,M,N),记X=X1+X2+…+Xn,其中X1,X2,…,Xn是n个0-1分布的随机变量且EXi=MN,则EX=E(∑Xi)=∑EXi=nMN,要注意随机变量间是相互不独立的但仍可这样计算.
对于两种分布列得出的期望相同,原因就在于误把次品率MN作为概率p来计算了,事实上limN→∞MN=p.
从以上叙述还可以看出两种分布有着密切的联系：因为
Csr=r(r-1)(r-2)•…•(r-s+1)r!=rss!(1-1r)(1-2r)•…•(1-s-1r)→rss!(n→∞).
所以CmMCn-mN-MCnN→Mm(N-M)n-m•n!m!(n-m)!•Nn=Cmn(MN)m(1-MN)n-m(N→∞),又limN→∞MN=p,
所以CmMCn-mN-MCnN→Cmnpm(1-p)n-m(N→∞)
这表明了超几何分布的极限分布是二项分布.
教学过程中,很多同学不能准确辨别所要解决的问题是属于几何分布还是二项分布,事实上,在超几何分布模型上只要稍作改变,超几何分布就可能成为二项分布.其中超几何分布必须同时满足两个条件：一是抽取的产品不再放回；二是产品的数目为有限个.当这两个条件中任何一个发生改变,则不再是超几何分布.
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