一道三角函数高考题的立体延伸:三角函数值对照表
时间：2019-05-11 03:13:43 来源：雅意学习网 本文已影响 人 
摘 要：本文从一道三角函数高考题出发，对问题的解决进行思考、延伸，从高度、广度、深度三个方面，对三角函数中解题的数学思想与方法，问题的解决与推广作了一些探讨，为数学习题课教学提供了一个有效课堂教学的例证．对典型的高考试题，经常进行多解与变式研究，从多个角度来教学，融知识内容、思维训练、方法探究为一体，从而达到有效课堂教学的目的．
关键词：高考题；三角函数；立体延伸
高考原题及解答
原题：在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若+=6cosC，则+=________．
解法1：将条件等式中的“边化角”，应用正弦定理，得+=6cosC，
去分母得sin2A+sin2B=6sinAsinBcosC①，
+=+==，
所以由①得+=②． 由条件等式又得a2+b2=6abcosC，
右边应用余弦定理，得a2+b2=3（a2+b2－c2），整理得3c2=2（a2+b2）③．
对③式再应用正弦定理，得3sin2C=2（sin2A+sin2B）④，
把④式代入②式，得+==4.
这是2010年高考数学江苏卷理科第13题． 笔者在三角函数复习的教学中对此题的解题作了一些思考，归纳为以下几个角度．
几个角度的分析
1． 高度——解题思想及方法的延伸（一题多解）
延伸意图：这道三角函数填空题，题目虽小，但解起来并不轻松，既要用到三角形中的正弦定理和余弦定理，又要用到三角函数的恒等变形及等价转化思想等，属中等偏难的题，但从训练学生思维创造性与灵活的角度考虑，它又不失为一道能力考查的好题． 当教师站在比较高的角度来解这道题时，会发现它是三角函数中一个极好的问题解决的教学索材．
从解法1可知，如果先将条件等式中的边转化为角，就必须进行两次“转化”． 那么，能不能减少转化的次数呢？
探究2：对余弦定理进行“正弦化”，找一找是否有新的可用结果．
解法2：对余弦定理c2=a2+b2－2abcosC应用正弦定理，得sin2C=sin2A+sin2B－2sinAsinBcosC，
由④式得sin2A+sin2B=sin2C，整理得sin2C=4sinAsinBcosC⑤．
由解法1知+=，将⑤式代入上式得+==4.
探究3：对问题式进行变形，看一看能否将条件等式代入．
解法3：由解法1知+=. 将条件等式逆向代人，得
+=.由正弦定理得+=+，代入得+==.
把④式代入上式，得+==4.?摇?摇?摇?摇
探究4：将条件与问题式中的“角化边”，探一探能不能解决问题．
解法4：由解法1中之③得=⑥．
又由解法1知+=，
对此式同时应用正弦定理和余弦定理，得
+==，把⑥式代入上式得+==4.
探究5：对条件等式不用余弦定理，对问题式也不变形，想一想能否有解．
解法5：对条件等式用正弦定理，得+=6cosC⑦，
比较上式与所求问题式的结构，可从转化角入手，即对上式左端中的两个分子，利用三角形内角和定理以及诱导公式，得+=6cosC，
将上式左端上的分子展开，得
+=6cosc，
整理得+=4cosC，
两边同除以cosC，得到+=4⑧．
探究6：由于该题是一道填空题，因此，可考虑用特殊化法求解． 将角C取为特珠角，或将a边与b边取为相等的边，做一做会怎样．
解法6：取C=则由条件等式得a2+b2=3ab，
由==得c2=2ab，由解法1知+=，
对上式应用正弦定理得+=，所以+==4.
解法7：取a=b=1，则由条件等式得cos=，tan2===，即得tan=. 所以tanC===2.
tanA=tanB===，所以+=+=4.
2． 广度——命题推广的横向延伸（一题多变）
延伸意图：仔细分析上述各种不同解法，我们发现，当条件等式变形之后，所求问题式也要随之改变，只要两者在变形的过程中形成有效的对接，那么问题便会顺利得到解决． 对此，我们可从变式训练的角度，以解题过程为起点，改变试题结构，生成新的命题．
问题2：在锐角△ABC中，已知+=4，求证：+=6cosC.
问题3：在锐角△ABC中，若=3cosC，则+=________．
解：由条件等式及余弦定理，得
c2=·2abcosC=（a2+b2－c2），整理得=⑨，由解法4知+=. 把⑨式代入上式得+==3.
问题4：在锐角△ABC中，若+=2（1+cosC），则+=________．
解：由条件等式及余弦定理，得
a2+b2=2ab+2abcosC=2ab+a2+b2－c2，
整理得c2=2ab⑩．
+=sinC+=sinC·=，对上式应用正弦定理得+=，将⑩式代入上式得+==2.
问题5：在锐角△ABC中，若+=2（a+b）cosC，则+=________．
解：由条件等式及余弦定理，得
a3+b3=（a+b）·2abcosC=（a+b）（a2+b2－c2）.
整理得c2=ab?輥?輯?訛，得+=1.
问题6：在锐角△ABC中，若+=2cosC，则的值是________．
解：对条件等式应用正弦定理得+=2cosC，整理得+=2，所以==.
问题7：在锐角△ABC中，若+=1+cosC，则1+·－1的值是________．
解：由条件等式及余弦定理，得
c（a+b）=ab+abcosC=ab+（a2+b2－c2），得2（a+b）c=（a+b+c）（a+b－c）?輥?輰?訛，
由正弦定理得
1+·－1==，
将?輥?輰?訛式代入上式得1+·－1==2.
3． 深度——命题推广的纵向延伸（多题一解）
延伸意图：对这类特殊的三角函数问题，进行教学方法、命题推广的探究之后，设计有探索性的练习题可以及时巩固所思所想，达到有效教学的目的．
问题8：在锐角△ABC中，若+=4，则=________．
问题9：在锐角△ABC中，若+=3，则=________．
问题10：在锐角△ABC中，若+=2，则=________．
延伸回顾与教后感受
为了一道高考题去多方面探索解题的途径及推广命题的探究，看起来是“慢”，其实践证明是“快”，因为长期这样做，提高了学生学习数学的思维能力，极大地满足了学生自主探究的心理，从长远来看是“快”的教学，是有效的课堂教学． 一道高考题是可以从“高度——解题思想及方法的延伸（一题多解）”、“广度——命题推广的横向延伸（一题多变）”、“深度——命题推广的纵向延伸（多题一解）”这几个角度来教学的，融知识内容、思维训练、方法探究为一体，从而达到有效课堂教学的目的．
