Ｓｃｈｗａｒｚ引理的启示_费马引理
时间：2019-02-11 03:16:29 来源：雅意学习网 本文已影响 人 
摘 要： 本文从Schwarz引理出发，将Schwarz引理的条件稍作修改，把单位开圆盘换为有界域，把‖f‖ ≤1，换成f（Ω）?奂Ω，使f有界，并设f（a）=a，a∈Ω，得到了和Schwarz引理比较类似的结论。
关键词： Schwarz引理 解析函数 有界域 Cauchy定理
1.引言
复分析中的Schwarz引理如下：假设f（z）∈H ={单位开圆盘上的有界解析函数的全体}，‖f‖ ≤1，f（0）=0，则必有|f（z）|≤|z|，（z∈U）。U表示单位单位开圆盘，|f′（0）|≤1；并当|f′（0）|=1或对某个z∈U，|f（z ）|=|z |?圳f=λz，λ为常数，且|λ|=1，ieλ=e ，x∈R，其中‖f‖ = |f（z）|。
下面将上述Schwarz引理的条件稍作修改：把单位开圆盘U换成一般的有界域Ω，‖f‖ ≤1换成f（Ω）?奂Ω，使f有界；f（a）=a，a∈Ω，那么是否能有Schwarz引理的结论呢？
2.主要结论
定理：设Ω是有界域，a∈Ω，且f在Ω上解析，f（Ω）?奂Ω，f（a）=a，则：
（i）|f′（a）|≤1；
（ii）若f′（a）=1，则f（z）=z，?坌z∈Ω；
（iii）若|f′（a）|≤1，则f是一对一（one-to-one），且f（Ω）?奂Ω。
证明：（i）设f =f，f =f（f ），则有：
（1）f （a）=f（f （a））=f（a）=a，
（2）f （Ω）=f（f （Ω））?奂f（Ω）?奂Ω，
（3）f （z）在Ω上解析。
又∵f′ （a）=f′（a），f′ （a）=（f（f（a）））′=f′（f（a））・f′（a）=（f′（a）） ，
因而得知：f′ （a）=（f′（a）） 。因而由Cauchy估值公式|f （z）|≤ ，
其中M= |f（z）|，Г∶|z-a|=k，Г?奂Ω，
∴|f′ （a）|≤ ?圯|f′（a）| ≤ ，此处M= |z|?圯|f′（a）|≤ →1（n→∞），因而|f′（a）|≤1。
（ii）设f′（a）=1，下证f（z）=z，?坌z∈Ω，
由于f在a点上解析，因而能展开成泰勒级数。
f（z）=f（a）+f′（a）（z-a）+ （z-a） +…+ （z-a） +…=a+z-a+ （z-a） +…?劬z+c （z-a） +…（*）（m≥2）
而f （z）=f（f（z））=f（z）+c （f（z）-a） +…=z+2c （z-a） +…
f （z）=f （f（z））=z+3c （z-a） +…
因而不难用归纳法证明：f （z）=z+nc （z-a） +…。
下证c =0。暂时固定n。
∵对f （z）而言其泰勒展开式的m次项系数应为 ，
∴f（z）=m!（n・c ），从而再一次利用Cauchy估值定理，
|m!・nc |=|f（z）|≤ ?圯|c |≤ →0（n→∞），
∴c =0。因而由（*）知，f（z）=z，?坌z∈Ω。
为了证明（iii），引用文献［1］中的一个引理：
设Ω是域（连通开集），f ∈H（Ω），n=1，2，…，{f }在Ω的任一紧子集上一致收敛到f。若f非常数，且f （Ω）?奂Ω′，Ω′是另一个域，则f（Ω）?奂Ω′。
设γ=f′（a），|γ|=1，可设γ=e ，θ∈R，因而存在整数n →∞，使得γ→1；又设f （z）→g（z），k→∞，{f （z）}一致有界且解析，从而g（z）亦解析。又∵f （Ω）?奂Ω，由引理知g（Ω）?奂Ω。
此外g（a）= f′ （a）= γ =1，故函数g满足定理（ii）的条件。∴g（z）=z。
设z ，z ∈Ω，f（z ）=f（z ）?圯f （z ）=f （z ）?圯g（z ）=g（z ）?圯z =z ，故f是一对一的，即单射。又∵g（z）= f （z）?圯g（z）∈f（Ω）?圯g（Ω）?奂f（Ω），而g（Ω）=Ω（∵g（z）=z），∴Ω?奂f（Ω）。于是f（Ω）=Ω。证毕。
参考文献：
［1］Walter Rudin.Real And Complex Analysis 3rd Edition，Mcgraw-Hill Co.，1987.
［2］钟玉泉.复变函数论.高等教育出版社（第二版），1987.
［3］［美］布朗.复变函数及应用.机械工业出版社，2004.1.
［4］M.A.拉夫连季耶夫等著.施祥林等译.复变函数论方法.高等教育出版社，2006.1.
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文
本文为全文原貌 未安装PDF浏览器用户请先下载安装 原版全文
