绳索动力学 [浅析柔软链条(绳索)一类动力学问题的解法]
时间：2019-02-09 03:13:14 来源：雅意学习网 本文已影响 人 
柔软链条（绳索）在运动过程中形体会发生变化，重心也就会发生变化，从而给计算带来障碍。若考虑链条运动的细节，问题就比较复杂，若从功能角度解决，因物体的重力势能与物体的重心相对参考平面的高度有关，问题可能会简单些。此时我们要准确而迅速地解决此类问题，应抓住如下三点：①若不计一切摩擦，则只有重力做功时，柔软绳（链条）在运动过程中机械能守恒；②因为柔软绳（链条）形体变化，故应注意重心位置的变化，从而正确确定其重力势能的值；③势能零点一般选在便于计算的位置。本文旨在从几种不同类型题的解析过程中归纳出解决柔软链条（绳索）一类动力学问题的常规方法。
1.柔软链条（绳索）的重心位置能准确确定的类型
例题1：将一链条自由下垂悬挂在墙上，放开后让链条作自由落体运动。已知链条完全通过悬点下方3.2m处的一点A用时0.5s，且链条下端未着地。求链条的长度为多少?
分析：链条在运动过程中形状没有改变，链条上各点运动情况和重心的运动情况完全相同。因此，我们可以通过选取重心或链条上任意一点作为研究对象，代替整个链条。画出物理情景图，并根据题意找出与位置对应的物理量，应用自由落体的规律公式解出链条的长度。
解析：如右图1所示，选取链条的下端为研究对象。设链条的总长度为L，下落的总高度为h，总时间为t，令整个链条穿过A点的时间为△t，链条下端到A点的时间为t-△t，则有：
h-L=g（t-△t）
h=gt
其中h＝3.2m，△t=0.5s，代入数据解得：L＝1.7m。
点评：此类题中链条竖直下落的运动性质为自由落体运动，需要弄清整个运动过程中链条的结构特点，建立物理模型，熟练掌握自由落体运动规律。构建物理情景图并找准相对应的物理量，对于本题的解答也是至关重要的。
例题2：一根质量分布不均匀的链条重30N，长1.0米，盘曲在地面上，当从链条A端慢慢提起链条使他的另一端B恰好离开地面时，重力做功-12J，若改从B端提起，到A恰好离开地面，要克服重力作多少功？
分析：题中链条质量分布不均匀，表面上看重心难确定，但实际上是可以的。重力做功改变重力势能，而重力势能的大小只与重心相对参考平面的高度有关，当整个链条都在竖直方向上时，重心在链条上的位置不变。故只需选取恰当的参考平面，应用重力做功与重力势能的关系即可解出此题。
解析：以地面为参考平面，设从A端提起，链条重心离地面h，重力做功-12J，则重力势能增加：-△E=mgh=12J，从B端提起克服重力做功为：W=mg（1.0-h）=18J。
2.柔软链条（绳索）的某一部分的重心位置能准确确定的类型
在中学物理中，我们常常会遇到这样的一类题：“如图，一根铁链长为L，放在……（或悬挂在……）开始时链条静止，……，求整个链条刚离开……时的速度。
例题3：如图2，一根铁链长为L，放在光滑的水平桌面上，一端下垂，长度为a，若将链条由静止释放，则链条刚好离开桌子边缘时的速度是多少？（链条下端未着地）
分析：本题中链条的运动情况相对复杂。下垂部分链条的重力产生加速度，而在链条运动过程中，此部分质量在增加，整体质量不变，故整个链条在做变加速运动，直到链条完全离开桌面。但不难发现链条在运动过程中，机械能是守恒的，所以从能量转化与守恒角度解决此题，只需考虑开始运动时和刚完全离开桌面时两个状态，不用考虑中间复杂的状态，问题就简化了。
解析：链条在运动过程中只有重力做功，机械能守恒。设链条的单位长度的质量为m=m/L，选取桌面所在的水平面零势能面，由静止释放时机械能为：E=-mag×=-×=-a×。
设刚完全离开桌面时速度为v，此时的机械能为：E=-mg×+mv。
由机械能守恒定律有E=E，即-ag×=-mg×+mv。
解得：v=。
点评：本题中的一个误区：取桌面为零势能面，静止为释放时重力势能为什么是-a×，而不是-×？一定要注意这里的a是下垂部分的重力，-a/2是相对参考平面重心的高度。还有其它变式题型，如：把其中的a变成L/3、L/4等，其结果也是将a替换即可。或者变换链条初始状态的形状。如：链条的两端各挂一个小球（如图3），对称地挂在轻小光滑的定滑轮上（如图4），其他条件不变。但只要抓住运动过程中，只有重力做功，机械能守恒。选取恰当的参考平面（零势能面），找出铁链静止时的机械能，以及铁链脱离的瞬间的机械能，应用机械能守恒定律，问题即可迎刃而解。
例题4：如图5所示，一条长为L的柔软链条，静止放在光滑梯形平台上，斜面上的链条长x 。现链条由静止开始沿斜面滑下，已知重力加速度为g，L＜BC，∠BCD＝α。试用x、x、L、g、α表示斜面上长为x时链条的速度大小（链条尚有一部分在平台上且x＞x）。
分析：本题应选取斜面上的那部分链条为研究对象，虽然此部分的长度、质量在变化，重心也在变化，但任意瞬间斜面上那部分链条的重心都可以确定。由于链条的机械能守恒，抓住斜面部分链条的重力势能的变化量等于整体链条动能的变化量的关系，列出方程求解。
解析：由链条、地球组成的系统，除重力外，其他外力都不做功，系统机械能守恒。设链条的总质量为m，则单位长度质量m=m/L，选平台作为零势能面，开始链条静止时，动能为零，势能为：E=g×-。
设斜面上链条长为x时，链条速度为v，动能为E=mv，势能为E=g×-。
根据机械能守恒定律，得E=E+E。
解得：v=。
3.在链条（绳索）被研究部分的质量在变化时，可考虑结合微元法解决
例题5：如图6，一根柔软的匀质链条悬挂在天花板上，且下端正好接触地板。若松开悬点，让链条自由下落，试证明：在下落的过程中，链条对地板的作用力等于已落在地板上的那段链条重力的3倍。
分析：本题中在链条为柔软体的条件下，已经落地的那部分链条，以及正在下落的那段链条之间，可以认为无相互作用。所以，链条对地板的作用力，决定于已落地那段的重力与正在着地那部分的冲力，而与还在自由下落的那段无关。
解析：设链条单位长度的质量为m，在t时刻已经落到地板上的链条长为s，质量为m=ms，对地板的作用力为：F= mg = mgs。
此时正在下落部分链条的速度为：v=。
在t→t+△t极短的时间内，又有长为△s的链条落到地板上，质量为：△m= m△s，设地板对此部分链条的作用力为F，不计此部分链条的重力，取向下为正方向，则由动量定理有：-F△t = 0-△mv=-m△sv。
解得：F=m△s v/△t。
因为时间极短，△s /△t = v，则有F=mv=2 mgs，由牛顿第三定律，此部分链条对地板的作用力大小为：F=2mgs。
在下落的过程中，链条对地板的作用力为：N=F+F=mgs+2mgs=3mgs ，正好等于已落在地板上的那段链条重力的3倍。
点评：多数同学遇到这样的题时感到无从下手。在链条下落过程，已经落在地板上的那段链条质量虽然在增加，但假设了落在地板上的长度后，重力可以直接算出，而正在着地那部分冲力必须采用微元法结合动量定理进行计算。在解题过程中，因为正在着地那部分质量取得非常小，忽略了重力，从而使问题简化。
例题6：长为L、质量为m的柔软绳子盘放在水平桌面上，用手将绳子的一端以恒定速度v向上提起，求当提起的高度为x（x＜L）时手的作用力。
点评：同上题，在链条为柔软体的条件下，手的作用力决定于已经被提起部分绳子的重力和正在被提起的那一部分绳子的冲力，与仍在地上的那部分无关。用类似上题的方法，解得答案为mg+v。
以上关于柔软链条（绳索）的几种类型的题是中学物理学习中的较难的，不仅要求学生物理知识掌握到位，而且提高了对运用数学解决物理问题能力的要求。多数学生往往一遇到这类问题，就直接放弃了。像链条运动这样的复杂问题，在教学过程中，按照学生认识规律，引导并帮助学生归纳、总结和提高，使他们熟悉并掌握这种类型题目的研究方法，不但能提高学生解题的技巧，而且对培养分析问题和解决问题的能力将起着不可低估的作用。
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