高中数学中反证法的具体运用_高中数学反证法
时间：2019-02-08 03:28:51 来源：雅意学习网 本文已影响 人 
摘 要： 反证法是高中数学中一种非常重要的证明方法，一般用于直接证明条件较少，关系不明确，问题形式较抽象，而其反面较具体、较容易入手的情况。本文作者以反证法为研究对象，通过归纳反证法的题型，以对此数学证明方法作了一个系统的研究。
关键词： 高中数学 反证法 常见题型
一、什么是反证法
反证法也称作归谬法，通常人们是这样定义反证法的：“证明某个命题时，先假设它的结论的否定成立，然后从这个假设出发，根据命题的条件和已知的真命题，经过推理，得出与已知事实（条件、公理、定义、定理、法则、公式等）相矛盾的结果。从而证明了结论的否定不成立，间接地肯定了原命题的结论成立。这种方法就叫做反证法。”在使用反证法的时候，通常通过以下步骤：“否定结论→推导出矛盾→结论成立。”反证法适合一些正面证明比较困难，但是否定则比较浅显的题目，在高中数学中使用得较为广泛，在解决较难的问题的时候，反证法更能体现其优越性。
二、反证法解决的常见题型
反证法虽然简单方便，但是任何方法的使用都有它成立的条件，都有它适用的范围。如果超越了使用的范围就会出现解题错误，解题方法也就不再适用，同样，也就会影响解题的成功率。因此，我们应该学会正确使用反证法来解题。
1.否定性问题
例题1：如果a，b，c是不全相等的实数，且a，b，c成等差数列，求证：，，不成等差数列。
分析：因为题目所证的结论是一个否定性的结论，如果直接证明的话让人有点无从下手，但是采用反证法就显得容易多了。
证明：假设，，成等差数列，则=+=，
由于a，b，c成等差数利，因此2b=a+c①，那么，==，即b=ac②，由①②得出，a=b=c，与a，b，c是不全相等的实数矛盾。故，，不成等差数列。
点评：在数学学习中，如果出现以下几种情况可以考虑使用反证法来解题：第一，题目是用否定形式叙述的；第二，题目选择使用“至多”、“至少”等文字叙述的；第三，题目成立非常明显，而直接证明时所用的理论较少，且不容易说明白的；第四，题目呈现唯一性命题特征；第五，如果题目的论证从正面较难入手证明，可以选择使用反证法。
2.某些存在性命题
例题2：假设设x，y∈（0，1），求证:对于a，b∈R，必存在满足条件的x、y，使|xy-ax-by|≥成立。
分析：本题主要是探索某些存在性问题，可以尝试用反证法。
证明：假设对于一切x，y∈〔0，1〕使|xy-ax-by|＜恒成立，令x=0，y=1，则|b|＜令x=1，y=0，得|a|＜令x=y=1，得:|1-a-b|＜，但|1-a-b|≥1-|a|-|b|＞1--=产生矛盾，故欲证结论正确。
例题点评：在证明此类存在性命题的时候，使用反证法只要其中一个结论，就可以论证题目当中的结论的合理性，比直接证明省掉了一个证明的步骤，显得更为简单、明了。
3.结论为“至多”、“至少”的命题
虽然反证法是一种很积极的证明方法，用反证法证题还有很多优点：如适用范围广、思想选择的余地大、推理方便等。但是并不是每一道题都能用反证法来解的。比如对以下两个例题的分析。
例题3：若z，y均为正整数，且z+y>2．求证：＜2或＜2中至少有一个成立。
分析：一般而言，如果题目中出现“至少”或者“至多”的字眼，选择使用反证法要简单一些。
证明：假设≥2与≥2同时成立，因此，x＞0，y＞0，所以1+x≥2y，1+y≥2x。
将以上两式相加得z+y≤2，这与已知条件z+y＞2矛盾，因此可以证明这个假设不成立。
因此，可以得出＜2或＜2中至少有一个成立。
例题4：如果对任何正数p，二次方程ax+bx+c+p=0的两个根是正实数，则系数，试证之。
证明：假设a＞0，则二次函数y=ax+bx+c+p的图像是开口向上的抛物线，显然可见，当p增大时，抛物线就沿y轴向上平移，而当p值增大到相当大的正数时，抛物线就上开到与x轴没有交点，则对这样的一些p值，二次方程的实数根就不存在。因此，a＞0，这一假设与已知矛盾。
同理，a＜0，也不合题意。
综上所述，当a＞0和a＜0时均不合题意。因此，a=0。
分析：看了本题的证明过程似乎很合理，但其实第三步，即肯定原结论成立的论证错了。因为，本题的题设条件为对任意正数p，y=0有两个正实数根，结论是a=0，但本题的题设条件与结论是矛盾的。
当a=0时，二次方程就变成了一次方程bx+c+p=0，此一次方程在b≠0时，对于任何正数p，它只有一个根；在b=0时，仅当p=-c＞0的条件下，它有无数个根，否则无根，但总之不会有两个根。题设条件和结论矛盾。
因此，本题不能用反证法来处理。
但是，如果原题改为“如果对于任何正数，只存在正实根，则系数”，就能用反证法证明了。
点评：通过分析例题3、例题4，可以得出对于下列命题，较适用反证法来解决：
第一，对于结论是否定形式的命题；
第二，对于结论是以“至多”，“至少”或“无限”的形式出现的命题；
第三，对于结论是以“唯一”或“必然”的形式出现的命题；
第四，对于可利用的公理定理较少或者较以与已知条件相沟通的命题。
三、结论
牛顿曾说：“反证法是数学家最精当的武器之一。”反证法之所以有效是因为它对结论的否定实际上增加了论证的条件，这对发现正确的解题思路是有帮助的。对于具体、简单的命题；或者直接证明难以下手的命题，改变其思维方向，从结论入手进行反面思考，问题可能解决得十分干脆。在现代数学中，反证法已成为最常用和最有效的解决问题的方法之一。
参考文献：
［1］赵杰.反证法――化难为易的法宝.中学生数理化（高二版），2010，（3）.
［2］何玲，刘玲珑.高中数学解题方法初探.科海故事博览・科教创新，2009，（11）.
［3］路从条.“反证法”思想在中学教学中的运用.福建教育学院学报，2003，（3）.
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