将冰冷美丽的数学转化为火热的思考 初三数学学困生的转化思考
时间：2019-01-25 03:54:24 来源：雅意学习网 本文已影响 人 
【摘要】布鲁诺说：“数学思想是数学的灵魂。”因此，在数学学习中，我们不仅要重视知识的形成过程，还要十分重视挖掘数学知识的发生、形成和发展过程中所蕴藏的重要思想方法。《有理数》一章是学生进入初中的第一章学习内容，本文主要谈谈有理数学习中几种数学思想的体现及实施过程中要注意的问题。
【关键词】数学思想 数学方法 有理数
Make the cold but beautiful mathematics become the fiery-hot thinking
------The application of the mathematics idea and method in junior rational number teaching
Tian Jue
【Abstract】Bulunuo said that mathematics idea is the soul of mathematics. Therefore, in mathematics learning, we not only should pay attention to the course of knowledge forming, but also should attach importance to the main idea and method that was contained in the course of mathematics knowledge forming and developing. The chapter, Rational Number, is the first chapter that students will learn after they go to the junior high school. In this article, the author wants to make a talk about the embodiment of several kinds of mathematics idea and the problem that will happen at the course of carrying out them.
【Keywords】Mathematics ideaMathematics methodRational number
1．数学思想和数学方法一般内涵的认识。所谓数学思想，就是对数学知识和方法的本质认识，是对数学规律的理性认识。是人们在长期的数学活动中提炼出的高层次的观念性思维形式，它是数学科学和数学学科固有的数学灵魂；所谓数学方法，就是解决数学问题的根本程序，是数学思想的具体反映。数学思想是数学的灵魂，数学方法是数学的行为。运用数学方法解决问题的过程就是感性认识不断积累的过程，当这种积累达到一定程度时，就会产生飞跃，从而上升为数学思想。数学思想对数学方法起着指导作用。因此，人们通常将数学思想和方法看成一个整体概念。若把数学知识看作一幅构思巧妙的蓝图而建筑起来的一座宏伟大厦，那么数学方法相当于建筑施工的手段，而这张蓝图就相当于数学思想。
数学教育有两种不同的水平，低级水平是介绍数学概念，陈述数学定理和公式，指出解题的程式和套路，以便通过考试；而高级水平是着眼于数学知识背后的数学思想办法，在解决数学问题的过程中进行深层次的数学思考，经过思维训练，获得美的享受。诚如一位数学教育家所言：数学教科书里陈述的数学，是程式化的数学，可以说是冰冷的美丽。但是，在数学家创立这些数学定理和公式的时候，却是经过了火热的思考。数学教学的任务就是把数学的学术形态转换为学生易于接受的教育形态，将冰冷美丽的数学恢复为火热的思考。
日本的米山国藏说：“我搞了多年的数学教育，发现学生们在初高中接受的数学知识因毕业进入社会后，几乎没有什么机会运用这些作为知识的数学，然而，不管他们从事什么业务工作，惟有深深铭刻于头脑中的数学精神、数学的思维方法、研究方法和着眼点等，都随时随地发生作用，使他们受益终生。”作为一名初中数学教师，笔者有理由也有义务给学生一双数学家的眼睛，丰富学生观察世界的方式，通过挖掘隐藏在程式化数学背后的数学思想和数学方法，让学生将冰冷美丽的数学恢复为火热的思考。
2．几种数学思想和方法在有理数教学中的运用。我们知道，有理数一章是学生进入初中的第一章学习内容，上好初中生入门的第一课，对初一新生开始养成在问题解决中自觉运用数学思想方法的意识，有着不可估量的意义。有理数是整个代数的基础，有理数的运算是初等数学的基本运算，可以说有理数一章是整个初等数学的奠基石，它所蕴含的丰富内容深刻地反映了中学阶段许多重要基本数学思想方法。在学习有理数时，除了数学基础知识和基本技能外，还应重视数学思想方法的认识。这对今后的数学学习有很大的用处。现就有理数学习中几种数学思想的体现和实施过程中要注意的问题浅谈如下：
2．1数形结合的思想。所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想，实现数形结合。数形结合是数学解题中常用的思想方法，数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质；另外，由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷。具体到有理数教学，由于数轴的出现，使有理数与直线上的点联系起来。实现数和形第一次亲密接触。数有了形而形象，形有了数而精确。
如在绝对值教学中，运用数形结合思想，巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题，可起到事半功倍的效果。如绝对值的几何意义就是结合数轴上两点间的距离来描述的，即一个数a的绝对值，就是数轴上表示数a的点与原点的距离。
例：已知x>0，y0，试用“ 本文为全文原貌 未安装PDF浏览器用户请先下载安装 原版全文 又如在数轴教学中：点A在数轴上距原点3个单位，将A点向右移动4个单位长度，再向左移动7个单位长度，此时A点表示的数是____。学生错填：0。
分析：点A可能在原点的右侧，也有可能在原点的左侧，因此有两种情况，应填0、-6两个数。学生往往只考虑点A在原点右侧的一种情况，忽略另一种情况，原因是没有分类讨论的思想，或不习惯分类讨论。
这就是数学中分类讨论思想方法的典型应用。在教学中，我们在运用分类讨论的思想进行教学时，首先要指出讨论的必要性，培养讨论的自觉性。要特别向学生指出，当面临的问题不止一个方面时，这时就要讨论。例如比较3a与2a的大小，a是什么性质的数？比较3a与2a的大小特殊点是什么呢？因为大小的特殊点是相等，以相等为界来分类。其次，分类要做到标准统一，不重不漏。分类讨论的思想不仅对于整个中学阶段的解题教学将起到十分重要的作用，还可以帮助我们培养学生全面地观察事物、灵活地处理问题的能力。
2．3整体思想。在数学思想中整体思想是最基本、最常用的数学思想。它是通过研究问题的整体形式、整体结构，并对其进行调节和转化使问题获解的一种方法。简单地说就是从整体去观察、认识问题，从而解决问题的思想。运用整体思想，可以理清数学学习中的思维障碍，可以使繁难的问题得到巧妙的解决。
在有理数一章，学习了用字母表示数以后，教师要逐步通过实例，让学生认识到字母可以表示任意一个代数式。反之，将一个代数式看作一个整体，也可以用一个字母表示，字母不仅可以用来表示一个数，而且还可以用来表示一个式子。例如，|a|中的a，若a表示2x，则|a|表示就是|2x|；若a表示x+1，则|a|就变成了|x+1|，当题目要求我们化简|2x|和|x+1|（即去掉绝对值符号）时，就需要把绝对值符号内的2x和x+1看做一个整体，这就是整体思想在第一章的应用。
笔者在数学教学过程中，常常会看到这样的现象，看似简单的问题，学生却做不出或解错。学生整体意识的形成与运用，需要教师结合数学教学内容逐步渗透，不能脱离具体的数学内容抽象地讲授，要通过学生在学习数学和运用数学、解决数学过程中形成。教师在教学中要对学生的思维循序渐进地、有计划地进行引导和训练，引导学生自己去归纳、总结、提炼其中的数学思想，使其能纵观全局，从整体的角度去把握问题。
2．4化归思想。化归思想是解决数学问题的一种重要思想方法。在有理数运算法则中处处体现了这种化归思想。在有理数的加法基础上，利用相反数概念，化归出减法法则，使加、减法统一起来，得到代数和的概念。同样在有理数乘法运算的基础上，利用倒数的概念，化归出除法运算法则，使互逆的两种运算得到统一，运用绝对值概念将有理数运算化归为算术数的运算等。例如与绝对值有关的化简或计算问题，解题的思路是利用 去掉绝对值符号，化归（或叫转化）为不含绝对值符号的数或式子的化简或计算。
可见，数学中利用化归思想方法，可以另辟蹊径，解决新问题，获得新知识。同学们在有理数一章学习中，注重其化归思想，那么在今后学习中，运用化归思想会更加意识化。
2．5数学建模思想。通常人们所说的模型是指所研究的客观事物有关属性的模拟，它具有事物中我们感兴趣的主要性质。模型可以是对实体的模拟，如展厅中的模型飞机。模型也可以是对实体某些属性的模拟，如一张地质图是某地区地貌情况的模拟。任何一个模型都可以看成一个真实系统某一方面的理想化。
数学模型是一种抽象的模拟，它用数学符号、数学公式、程序、图、表等刻画客观事物的本质属性与内在联系，是现实世界的简化而本质的描述。数学模型是为一定目的对部分现实世界而做的抽象、简化的数学结构。
创建一个数学模型的全过程称为数学建模，即运用数学的语言、方法去近似的刻画该实际问题，并加以解决的全过程。
为解决一个实际问题，建立数学模型是一种有效、可靠的方法。例如“队列操练中的数学”：一次团体操排练活动中，某班35名同学面向老师站成一列横队。老师每次让其中的任意4名同学向后转（不论原来的方向如何），能否经过若干次后全体学生都背向老师站立？如果能，请你设计一个方案；如果不能，请说明理由。
分析：这个问题似乎与数学无关，却难以入手。我们注意到学生站立有两个方向，与具有相反意义的量相似，向后转可以想象成进行一次运算，或改变一个符号，我们能否设法联系有理数的知识进行讨论？我们可以这样建立数学模型：假设每个学生胸前有一个号码牌，上面写着“+1”，背后有一块号码牌，上面写着“-1”，那么35个学生，全体面向老师，胸前35个“+1”的乘积为“+1”如果全部背向老师，35个“-1”的乘积为“-1”。再观察4名学生向后转进行的是什么运算。我们设想老师不叫向后转，而是这4名学生对着老师的数字都乘“-1”。这样每次“运算”乘4个“-1”，即乘“+1”，所以35个数的乘积不变，始终是“+1”，因此乘积变为“-1”是不可能的。也就是说，老师每次让其中的4名同学向后转（不论原来的方向如何），经过若干次后全体学生不能都背向老师站立。
培养学生的数学建模能力，首先要发展观察力，形成洞察力。面对错综复杂的实际问题，能抓住问题的要点逐步剔除冗余的信息，使问题趋于明确，得出解决问题的重点和难点。但是，洞察力的形成不是一朝一夕的事。对于刚进入中学的初一学生，我们不能过分拔高，而是着重于培养学生的想象力和联想能力。著名的物理学家爱因斯坦曾说过：“想象力比知识更重要，因为知识是有限的，而想象力概括着世界上的一切，推动着进步。”在建模过程中往往要求学生充分发挥联想，把表面上完全不同的实际问题用相同或相似的数学模型去描述它们，培养学生广泛的兴趣，勤思考，勤练习，逐步达到触类旁通的境界。
通过以上的案例，我们可以看出，由于数学思想方法的呈现形式常常是隐蔽的，学生难以从教材中获取，要求教师必须深入研究教材，努力挖掘教材在各个环节中所渗透的数学思想方法，提出相应的具体要求。在教学中，教师向学生充分展示知识的形成过程，让学生反复体验其中数学思想方法的导向功能，就会在学生思维意识中打下数学思想方法的烙印，从而上升为数学形为背后的内驱力，使学生具有良好的数学素养。
参考文献
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2 张奠宙、宋乃庆.数学教育概论.高等教育出版社,2004
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5 徐全智、杨晋浩.数学建模.高等教育出版社,2003.第一版
6 宋佰涛.非常讲解.天津人民出版社,2007
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”
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