不动点定理【不动点定理在几类方程的解的存在唯一性方面的应用】
时间：2019-01-08 03:15:59 来源：雅意学习网 本文已影响 人 
摘 要： 压缩映射原理在分析、积分方程、函数方程、微分方程解的存在唯一性方面起了重要的作用。本文对此进行了分析。 关键词： 不动点定理 压缩映射原理 方程解的存在唯一性问题
压缩映射原理是波兰数学家巴拿赫（Banach，1892―1945）在1922年把逐次迭代法的基本观点提炼出来，抽象地运用到完备距离空间的压缩映射所获得的结果。该原理在解决各种方程解的存在唯一性问题中具有广泛的应用。
一、概念和定理
定义1：设X是给定的集合，T：X→X为X到自身中的映射，如果?埚x∈X使得Tx=x，则称x为映射T的一个不动点。
定义2：设X=（X，d）是距离空间，映射T：X→X，如果存在非负常数α∈［0，1），使得?坌x，y∈X有d（Tx，Ty）≤ad（x，y），则称T是X上的一个压缩映射，并称α是T的压缩常数。
定理1：设（X，d）是完备距离空间，若T:X→X是压缩映射，则T存在唯一的不动点。
定理2：设（X，d）是完备距离空间，B（y，r）是X中以y为中心，r为半径的开球，如果T:B（y，r）→X是压缩映射，而且d（Ty，y）＜（1-α）r（这里的α是压缩常数），那么映射T在B（y，r）中有唯一的不动点。
定理3：设（X，d）是完备距离空间，如果存在自然数n使得T是X上的一个压缩映射，那么T在X上必存在唯一的不动点。
二、应用
例1：证明：方程x+x-1=0在（0，1）上有唯一解
证明：考虑方程x=（1+5x-x），令f（x）=（1+5x-x），由f′（x）=-x=（1-x）≤，对?坌x∈［0，1］可知
|f（x）-f（x）|≤|x-x|，?坌x，x∈［0，1］
因而f在［0，1］上有唯一的不动点x，显然x∈（0，1）。
1.应用于积分方程的求解
例2：设f（s）为a≤s≤b的连续函数，k（s，t）为正方形a≤s≤b，a≤t≤b上的连续函数。有常数M，使得?蘩|k（s，t）|dt≤M＜∞（a≤s≤b），那么当|λ|＜时，必有唯一的φ∈C［a，b］满足方程：φ（s）=f（s）+λ?蘩k（s，t）φ（t）dt。
证明：作Tφ=f（s）+λ?蘩k（s，t）φ（t）dt，因为f（s）连续，k（s，t）连续，所以上式右端连续，即Tφ连续，也即T:C［a，b］→C［a，b］
由于C［a，b］是一个完备的度量空间
?坌φ，φ∈C［a，b］
d（Tφ，Tφ）=|λ?蘩k（s，t）（φ（t）-φ（t））dt|
≤|λ|?蘩|k（s，t）||φ（t）-φ（t）|dt
≤|λ||φ（t）-φ（t）|?蘩|k（s，t）|dt
≤|λ|d（φ，φ）M
=ad（φ，φ）
其中α=|λ|M＜1，所义T是C［a，b］到C［a，b］的一个压缩映射，由Banach不动点定理知T存在一个不动点即满足方程。
2.应用于函数方程
例3：设函数f（x，y）在带状区域［a，b］×（-∞，+∞）={（x，y）|x∈［a，b］，y∈R}上处处连续，而且偏导数f（x，y）处处存在。证明：如果存在常数0＜m＜M＜+∞，使得m≤f（x，y）≤M，（x，y）∈［a，b］×（-∞，+∞），那么在［a，b］上必存在唯一的连续函数y=φ（x），使得f（x，φ（x））≡0，x∈［a，b］。
证明：令（Aφ）（x）=φ（x）-f（x，φ（x）），易证A是C［a，b］到C［a，b］中的压缩映射，压缩常数为α=（1-）。因而A有唯一的不动点φ，即方程f（x，y）=0有唯一的解y=φ（x）。
3.应用于微分方程
例4：证明：如果f（x，y）是矩形D={（x，y）‖x-xchv |≤a，|y-y|≤b}上的连续函数，而且f关于y在D上满足Lipschitz条件，即存在常数k，使得|f（x，y）-f（x，y）|≤k|y-y|，（x，y），（x，y）∈D，那么常微分方程初值问题=f（x，y）y（x）=y在［x-δ，x+δ］上有唯一的解y=y（x），其中M=|f（x，y）|，δ＜mina，，。
证明：原常微分方程的初值问题可转化为等价的积分方程
y（x）=y+?蘩f（t，y（t））dt
考虑C［x-δ，x+δ］的闭子空间
D={y|y∈C［x-δ，x+δ］，y（x）=y且d（y，y）≤b}
令（Ty）（x）=y+?蘩f（t，y（t））dt，由条件可证T:D→D，而且T是压缩映射，压缩常数为k•δ＜1，因而T有唯一的不动点。
参考文献：
［1］张恭庆，林源渠.泛函分析讲义（上册）［M］.北京大学出版社，1998.
［2］童裕孙.泛函分析教程（第二版）［M］.复旦大学出版社，2008.
［3］程其襄.实变函数与泛函分析基础［M］.高等教育出版社，2000.
本文为全文原貌 未安装PDF浏览器用户请先下载安装 原版全文
