勾股定理的三个公式 [“拼图与勾股定理”探究活动实录与反思]
时间：2019-01-02 03:16:23 来源：雅意学习网 本文已影响 人 
学生在小学已经借助拼图直观地学习了图形的面积,到了初中,学生在学习平面直角坐标系和一次函数的时候,已经知道了代数与几何之间可以互相转化,并完美地结合在一起,知道可以用几何知识来研究代数,代数与几何之间具有内在的联系。基于“让学生在做中感受和体验,在做中学习数学知识,在做中培养创新精神”的理念,在学生学习了“勾股定理”后开展“拼图与勾股定理”的探究活动,对于帮助学生增强数学的数形结合意识,提高学习数学的能力和兴趣具有重要的意义。
下面是笔者组织的探究活动实录及反思,供大家参考。
一、教学目标
1.知识与技能。
(1)理解并掌握勾股定理,了解利用拼图验证勾股定理的方法;
(2)学会用拼图的方法验证勾股定理,培养学生的创新能力和解决实际问题的能力。
2.过程与方法。
(1)通过丰富有趣的拼图,经历观察、比较、拼图、推理、交流等过程,发展空间观念和有条理地思考与表达的能力,获得一些研究问题和合作交流的方法与经验;
(2)经历用不同的拼图方法验证勾股定理的过程,体验解决同一问题的方法的多样性,进一步体会勾股定理的文化价值;通过验证过程中数与形的结合,体会数形结合的思想,以及数学知识之间的内在联系。
3.情感、态度与价值观。
(1)通过拼图活动,体验数学思维的严谨性,发展形象思维;
(2)通过获得成功的体验和克服困难的经历,增进数学学习的信心,在探究活动中,体会解决问题方法的多样性,培养学生合作交流的意识和探索精神;
(3)利用拼图方法验证勾股定理,是我国古代数学家的一大贡献,借助此过程,对学生进行爱国主义教育。
二、教学重点
经历用不同的拼图方法验证勾股定理的过程,体验解决同一问题方法的多样性,进一步体会勾股定理的文化价值。
三、教学难点
经历用不同的拼图方法验证勾股定理。
四、教学过程
1.活动一。
师:每个小组都有四个全等的直角三角形和一个正方形(如图1),其中直角三角形的直角边长分别为a和b,斜边长为c;正方形的边长为b-a。你能用它们拼成一个正方形吗?你能用它们拼成两个正方形吗?你能说出每个正方形的边长吗?
小组合作完成后,让学生到黑板上演示并解说。
第4小组:我们首先拼成这样一个正方形(如图2),它的边长为c,然后拼成两个正方形(如图3)。(由两人合作完成)
学生:我在资料上看到,刘徽在证明勾股定理时,也是用的以形证数的方法,只是具体的分合移补略有不同。刘徽的证明原来也有一幅图,可惜图已失传,只留下一段文字:“勾自乘为朱方,股自乘为青方,令出入相补,各从其类,因就其余不动也,合成弦方之幂。开方除之,即弦也。”后人根据这段文字补了一张图(图13)。
3.活动三。
师:其实,在国外也有很多很好的用拼图证明勾股定理的方法。(如图14)直角三角形ABC的直角边分别为a和b,斜边为c,正方形Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的边长分别为a、b、c,我们一起试一试:首先用一条水平直线和一条竖直的直线将正方形Ⅱ分成四部分,再将它们与正方形Ⅰ一起拼成正方形Ⅲ。
小组合作完成后,让学生到黑板上演示并解说。
第6小组:我们按照这种方法,也将正方形Ⅱ这样(演示)分成四块(图15),但发现拼不成。
第4小组:他们的竖直线画得和我们不同(图16),我们认为要用一条水平直线和一条竖直直线将正方形Ⅱ分成四个四边形,再将四个四边形有公共顶点的四个直角与正方形Ⅲ的四个直角相对应,最后将正方形Ⅰ放在中间,正好拼成正方形Ⅲ。
第5小组:我们发现无论横线还是竖线在正方形Ⅱ内部的长度都必须等于直角三角形的斜边长c。
学生:想不到这么高深的数学问题我也能解决!
学生:现在我知道了动手做也可以研究数学问题。我不再感觉数学是枯燥的了,数学其实很有趣。
学生:我知道了原来我们中国古代数学家曾经取得非常高的成就,我要向他们学习,学好数学,成为像他们那样的数学家。
五、教学反思
通过“拼图与勾股定理”探究活动的教学,笔者有以下几点体会。
1.探究活动的起点不宜过高。
探究活动重在引导学生主动参与、乐于探索、善于实践,把握知识的全过程,明晓数学的来龙去脉。在“拼图与勾股定理”的探究活动中,笔者以中国古代和外国已有的证明勾股定理的方法为基础,精心设计了三个拼图活动,使学生在教师引导下,通过动手操作和思考,发现用拼图可以验证勾股定理,并明白其中蕴涵的数学原理和思想方法。所有的问题,学生通过观察、比较、拼图、推理、交流等都能得到解决,既不浅显,又不是高不可攀,使学生能做、乐做,同时又享受到做中的乐趣。
2.探究活动中学生的参与度很重要。
在“拼图与勾股定理”的探究活动中,90%以上的时间是学生在思考、交流、操作、发言和演示。每一个小组都有展示,每一个学生都在做、想、说,虽然其中有困惑、有障碍、有失败,但每个学生乐此而不疲,做的专心致志,想的眉头紧锁,听的津津有味,说的深入浅出,而且总会冒出一些出乎意料的问题和方法。这些得益于各小组的明确分工,使得每个学生都有动手操作的机会和发言的空间,也得益于教师对失败和错误的包容、对成功和精彩发言的表扬鼓励。整个过程中学生的意见得到发表,创造得到肯定,每个学生都有收获。
3.探究活动中学生有创造。
学生以前知道的勾股定理证明方法很有限,对于本活动中的许多证明方法,学生以前并不了解。对于学生来说,这些方法都是新的,而且是他们创造的。在数学学习活动中培养学生的创造能力,就是使学生在学习过程中,独立地发现新知识,独立解决自己未曾解决过的问题或把所学的知识应用到新的情境中去的能力。
总之,“拼图与勾股定理”的探究活动,应着重于学生亲身体验,操作实验。对于初中学生而言,容易使拼图活动停留在表面,缺乏深入的思考。因此,教师应及时加以启发、引导。同时,不同的拼图方法既有共性,又有各自的精华,需要学生在操作中体会、反思、领悟,教学过程不能急躁冒进,教师要留给学生一定的独立自主的操作、思考的时间,要创造一个良好的课堂学习氛围,让学生能以一个创造者或发明者的身份去探究知识。教师应给学生提供一个充分的交流和小组合作的时间和机会,鼓励他们积极思考解决问题的方法。
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