[函数一致连续性的几个新的判别方法] 函数列一致收敛判别

时间：2018-12-28 03:34:58　来源：雅意学习网本文已影响人

　　摘要：本文作者给出了函数的一致连续性的极限判别法、导数判别法，以及推广的利普希茨条件等新的判别法。　　关键词：一致连续性极限判别法导数判别法利普希茨条件判别法
　　
　　函数的一致连续性是数学分析中应用非常普遍、重要而又抽象的数学概念之一，它体现了函数在某个区间上的整体性质，是微积分学的基础，并且对后续课程的学习起着关键作用。许多专家和学者在这方面做了大量的工作，文献［1］给出了函数一致连续性的定义法，文献［２］利用利普希茨条件法来判定函数的一致连续性，本文笔者给出了极限判别法和导数判别法并对文献［３］给出的利普希茨条件判别法进行推广。
　　1.极限判别法
　　定理1.1 设f(x)在［a，+∞］上连续，且［f(x)-kg(x)］=b，其中k，b为常数，g(x)在［a，+∞)一致连续，则f(x)在［a，+∞)上一致连续。
　　推论1. 1 设f(x)在［a，+∞)上连续且f(x)=b，则f(x)在［a，+∞)上一致连续。
　　推论1. 2 若函数y=f(x)有斜渐近线，则函数f(x)在［a，+∞)上一致连续。
　　（注：推论1.1是文献［３］的结论，推论1.2是文献［４］的结论。）
　　推论1.3 f(x)在［a，+∞）上连续且满足(f(x)-kx)=b(p≤1)，则f(x)在［a，+∞）上一致连续。
　　2.导数判别法
　　定理2.1 设函数f(x)，g(x)在区间I上可导，且g(x)在区间I上一致连续，对?坌x，x∈I(x≠x)有g(x)≠g(x)，f′(x)与g′(x)在区间I上不同时为0，有界，则f(x)在区间I上一致连续。
　　推论2. 1 若函数f(x)在区间I上可导，且f′(x)有界，则f(x)在区间上I一致连续。
　　（注：推论2.1 是文献［３］的结果。）
　　推论2. 2 若函数f(x)，g(x)在区间［a，+∞)上可导，当导数不同时为0且=A(A为常数），g(x)在区间［a，+∞)上一致连续且对?坌x，x∈I(x≠x)有g(x)≠g(x)，则f(x)在区间［a，+∞)上一致连续。
　　推论2. 3 若函数f(x)在区间［a，+∞)上可导，且f′(x)=k（k为常数），则有f(x)在区间［a，+∞)上一致连续。
　　（注：推论2.3 是文献［３］的结果。）
　　3. 利普希茨条件判别法
　　引理3.1［1］若函数f(x)在区间I上连续，g(x)在区间I上一致连续，?埚常数L＞0，若满足｜f(x)-f(x)｜≤L｜g(x)-g(x)｜，则f(x)在区间I上一致连续。
　　引理3.2［２］若对?坌ε＞0，?埚常数L＞0，使得对满足｜f(x)-f(x)｜＞L｜x-x｜的x，x∈I(x≠x)，总有｜f(x)-f(x2)｜＜ε，则函数f(x)在区间I上一致连续。
　　定理3.1 f(x)在区间I上连续，g(x)在区间I上一致连续，若对?坌ε＞0，?埚常数L＞0，使得满足｜f(x)-f(x)｜＞L｜g(x)-g(x)｜的x，x∈I(x≠x)，总有｜f(x)-f(x)｜＜ε，则函数f(x)在区间I上一致连续。
　　证明：由定理条件可知对?坌ε＞0，?埚常数L＞0，使得对满足｜f(x)-f(x)｜≥ε的x，x∈I，总有｜f(x)-f(x)｜≤L｜g(x)-g(x)｜。
　　由引理3.1知f(x)在区间I上一致连续。
　　
　　参考文献：
　　［１］华东师范大学数学系.数学分析［M］.高等教育出版社，北京，2001.
　　［２］李克典，马云苓.数学分析选讲［M］.厦门大学出版社，2005.
　　［３］石秀文. 判别函数一致连续性的几种简单易用的方法［J］.宜宾学院学报，2007.
　　［4］杨峻，何朝兵.函数一致连续性的判定［J］.安阳师范学院学校，2006.
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