等价转化思想在解题中的应用:等价转化思想
时间：2019-05-13 03:30:35 来源：雅意学习网 本文已影响 人 
数学问题解决的过程，实质上是一种思维活动的转化过程。"转化思想"就是对原问题换一个方式、换一个角度、换一个观点加以考虑，把要解决的问题通过某种转化，再转化，化归为一类已经解决或比较容易解决的问题，从而使问题得到圆满解决的思维方法.
在近几年的高考中，等价转化思想的应用处处可见。因此无论从培养学生的能力角度出发，还是从高考而言，笔者都很注意对等价转化思想的渗透。从学生的课堂表述及答题情况来看，这方面的意识有所加强，但也出现不少问题。终其一点来说，学生经常做"非等价"的转化。
以下是笔者在最近的函数复习教学过程碰到的学生的典型错误。
例1、关于的一元二次方程，当为何值时，方程有两个大于的实数根.
学生1：设方程的两根为，则只需满足.
显然学生所给出的条件是的必要不充分条件，并不充要。这时老师追问，你觉得它们等价吗？这时大部分同学都会看出来，它们不等价。那它的等价条件是什么呢？
学生1: .
对于像这样的关于根的分布问题，学生是最容易出错的。那么有没有更好的方法去避免呢？
学生2：令，则函数有两个大于零的零点，即.
备选例题：1、已知函数的零点有且只有一个，则的值为_______.
2、设，，,求实数的取值范围.
例2、已知函数，
(1) 求函数的单调区间和值域；
(2) 设函数，若对于任意，总存在，使得成立，求实数的取值范围.
本题是一道函数综合题，主要考察函数的单调性，值域，集合的包含关系，解不等式等基础知识，以及逻辑思维能力、运算能力和综合应用数学知识解决问题的能力。
基本思路：
(1) 对函数求导，，
当，，则在是减函数，
当，，则在是增函数.
那么,所以.
所以的值域为.
(2) 由题意得，的值域是的值域的子集.
,所以在是减函数.
于是，，那么，得.
第二小题通过等价转化把一个看似很复杂的问题非常轻松地解决了。这一题在学生初次遇到时，觉得解决起来很困难，所以在课堂的讲解中，笔者做了很详细地分析。学生听后也是印象深刻，等价转化的意识也变得更强。
在接下来的月考中，试题里出现了类似的题目，大部分同学都有了解题思路，不得不说学生的思维里确实也有了转化的思想，但不等价的居多。题目如下：
例3、设函数，对于任意的实数，都有成立.
(1)求实数的值；
(2)若存在实数，使成立，求实数的取值范围.
解：第一小题，对学生来说不是问题，得到。
第二小题，学生的错误是惊人的统一，都把问题转化求在区间上的值域，而求出来的值域是的子集。产生这样的错解，笔者认为是学生对问题本质还没有正确理解，即对存在性问题与恒成立问题没有很好地加以区别，只是一些很模糊的解题的套路，从而导致了"不等价转化"的产生。
该题的正确等价转化，可以从多个角度去思考。
法一：从集合的角度考虑，问题可转化为在区间上的值域与的交集不为空集。
法二：从解不等式的角度考虑，问题可转化对于，使成立，即使不等式有解。
等价转化思想方法的特点是具有灵活性和多样性，在应用等价转化去解决数学问题时，没有统一的模式去进行。它可以再数与数，形与形，数与形之间转化。我们更是经常在函数、方程、不等式之间进行等价转化。由于其多样性和灵活性，我们要合理地设计好转化的途径和方法，不能生搬硬套。
在今后的教学里，笔者会更加重视对等价转化思想的渗透，帮助学生提高的解题能力和水平。
