线性代数中有关二次型问题的题型及解法:线性代数二次型

时间：2019-01-10 03:26:52　来源：雅意学习网本文已影响人

　　摘要：线性代数中的二次型在当今社会各个领域都有广泛的运用，关于二次型的问题也是高等数学学习和研究生考试的重点和难点。由于二次型问题与线性代数知识存在着密切的联系，分析和研究二次型问题的题型和解法对深入学习线性代数具有重要的基础作用。本文以高等数学试题中提供的关于二次型问题为例探讨了二次型题型的一般类型，以及相应的解法，为高校学生学习线性代数提供一些参考。
　　关键词：线性代数二次型题型解法
　　
　　二次型理论产生的背景和存在的意义在于解析几何中为了能够更加清楚地分析曲线和二次曲线的几何性质，常常需要把二次曲线和二次曲面的一般形成转化成标准形.从运用角度看，二次型理论在日常中的数理统计、物理学、力学，以及日益兴趣的现代控制理论等领域都有着重要的应用.高等数学《线性代数》教学大纲把二次型作为教学重点，如二次型及其矩阵表示、用配比法、正交变换化二次型为标准形，还有正定二次型与正定矩阵的概念及其判别法，等等.这些内容都涉及了线性代数中有关二次型问题的题型，以及存在的几种解法.研究生考试的参考书目高数1和高数3都对二次型问题题型及其解法提出了要求，本文以研究生考试试题为例探讨了二次型问题题型，以及存在的解法.
　　一、什么是二次型
　　含n个变量x，x，…，x的二次齐次多项式f（x，x，…，x）=ax+2axx+2axx+…+2axx+ax+2axx+…+2axx+…+ax称为x，x，…，x的一个n元二次型函数，简称二次型。而二次型矩阵表为：
　　设a（i，j=1，2，…，n；i≤j）均为实常数，称关于n个实变量x，x，…，x的二次齐次多项式函数
　　f（x，x，…，x）=ax+2axx+2axx+…+2axxax
　　+2axx+…+2axx+…+ax
　　=ax+2axx
　　为一个n元实二次型，简称为n元二次型。
　　令a=a，则2axx=axx+axx，再令矩阵A=（a），x=（x，x，…，x），则A为实对称矩阵，且可将二次型写成
　　f（x，x，…，x）=axx
　　=（x，x，…，x）a a … aa a … a a a … axxx或f（x）=xAx
　　称此式右端为二次型的矩阵表达式，称实对称矩阵A为二次型f的矩阵，并称A的秩为二次型f的秩.
　　二、二次型的解法
　　用配比法化二次型为标准型的要点是用完全平方公式和两数平法差公式逐步消去非平方项并构造新的平方项.具体而言：
　　（1）如果二次型中含x的平方项和交叉项，则把含x的交叉项集中，按x配成平方项，对其他变量也做类似处理，直到都配成平方项为止.
　　（2）如果二次型中交叉，但不含x的平方项，则作可逆线变换x=y-y，使二次型出现平方项，再按上面的方法配方.
　　三、二次型的正定和负定性
　　1.二次型正定判别法
　　二次型为正定的充要条件是下列条件之一成了：一是f的标准形中的n个系数全为正，二是正惯性指数p=n，三是对称矩阵的特征值权大于0，四是对称矩阵A的各阶顺序主子全大于0.
　　有二次型f（x）=xAx，它的秩为r，有两个满秩线性变换x=Cy和x=Cz，f经上述两个满秩线性变换化成的标准形分别为
　　f=dy+dy+…+dy（d≠0，i=1，2，…，r）
　　f=kz+kz+…+kz（k≠0，i=1，2，…，r）
　　则d，d，…，d中正（负）数的个数与k，k，…，k中正（负）数的个数相等.
　　我们这样认为：称f的标准形中系数为正的平方项的个数为f的正惯性指数，称f的标准形中系数为负的平方项的个数为f的负惯性指数，由惯性定理可见，f的标准形虽然不唯一，但f的正惯性指数p及负惯性指数r－p（其中r为f的秩）却是由f本身唯一确定的.它们不随满秩线性变换的不同而改变.因此，f的规范形中系数为1的平方项的个数及系数为－1的平方项的个数也是由f本身唯一确定的，从这个意义上讲，可以说二次型的规范形是唯一的.
　　假设定义（正定、半正定、负定、半负定及不定二次型）设有n元二次型f（x）=xAx（A为实对称矩阵），如果对任意n维非零向量x，都有：
　　（1）f（x）＞0，则称f为正定二次型，并称实对称矩阵A为正定矩阵；
　　（2）f（x）≥0，且x≠0，使f（x）=0，则称f为半正定二次型，并称实对称矩阵A为半正定矩阵；
　　（3）f（x）＜0，则称f为负定二次型，并称实对称矩阵A为负定矩阵；
　　（4）f（x）≤0，则称f为半负定二次型，并称实对称矩阵A为半负定矩阵.
　　2.二次型负定判别法
　　二次型为负定的充要条件是下列条件之一成立：一是f的标准形中的n个系数全为负.二是负惯性指数p=n，三是对称矩阵的特征值全小于0，四是对称矩阵A的个阶顺序主子式中，偶数阶全大于0，奇数阶全小于0.
　　
　　参考文献：
　　［1］刘三阳，王世儒等.高等数学辅导［J］.西安：西安电子科技大学，2010，（06）.
　　［2］张禾瑞.高等代数［J］.北京：高等教育出版社，2009，（05）.
　　［3徐仲.理工科线性代数［J］.西安：西北工业大学，2007，（01）.
　　［4］北京大学数学系几何与代数教研室代数小组.高等代数［J］.北京：高等教育出版社.
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