用等价无穷小代换求含和差极限初探|无穷小的等价代换
时间：2019-01-29 03:29:55 来源：雅意学习网 本文已影响 人 
摘要：等价无穷小的等价代换是极限计算中一种常用的方法，对其正确使用是至关重要的。本文给出了用等价无穷小求含和差极限的定理，从而纠正了一种习惯性误差，认为和的形式其部分和不能用其等价无穷小来代替求极限。
关键词：极限 等价无穷小 同阶无穷小 高阶无穷小
目前，绝大部分高等数学教材中在介绍利用等价无穷小求极限时，只给出了积或商的形式可以用等价无穷小代替的定理，而对于和差的形式，一般教材只给出反例，说明和差形式不能用等价无穷小来代替，其实不尽然。那些反例只能说明，在非常的情况下，不一定能实行部分代替。也就是说，若极限表达式的分子或分母是几个量的代数和，则每个量都分别以它们各自的等价量来代替时应当慎重，其原则是代替后的整体应与原来整体等价。
下面通过两个定理来说明含和差形式的极限用等价无穷小时应满足的条件。
定理1：如果在自变量x的某种变换趋势下，变量?琢（x），?茁（x）满足如下条件：（下面的极限书写都略去了自变量x的该种变换趋势）
（1）?琢（x）和?茁（x）是同阶无穷小，且lim≠-1；
（2）?琢（x）～（x），?茁（x）～（x）
则：［?琢（x）+?茁（x）］～［（x）+（x）］
证明：设lim＝，由已知有≠0，≠-1
因为=+=+=+，
所以lim=+=+=1
故在自变量x的这种变换趋势下，有［?琢（x）+?茁（x）］～［（x）+（x）］
从这个定理我们可以得出如下结论：在极限的型未定式里，若分子是两个同阶无穷小的代数和，且此二者之比不以为极限，则二者可分别用各自的等价无穷小来代替，分母亦然。
例1计算
解由于=≠-1，=≠-1；
所以==
注：当然此题也可以给分子和分母同除以x，利用第一个重要极限求其解。
推广：这个结论可以推广到?琢1（x）+?琢2（x）+…+?琢n（x）上去，只要在自变量x的某种变换趋势下，?琢i（x）和?琢j（x）为同阶无穷小，且在自变量x的这种变换趋势下lim≠-1，i≠j，i，j=1，2，…，n，即n个无穷小的代数和在满足上述条件，就可以用各自的等价无穷小来代替，求极限。
例2计算［sin+sin+…+sin］
解 对于任意i≠j，i，j=1，3，…，（2n-1），都有=≠0-1，
且n→∞时，sin～，
故当n→∞时，［sin+sin+…+sin］～［++…+］，故［sin+sin+…+sin］
=［++…+］
=a=?琢=?琢
定理2，若在自变量x的某种变换趋势下，?茁（x）是?琢（x）的高阶无穷小，即?茁（x）＝０（?琢（x）） ，则：?琢（x）+?茁（x）～?琢（x）
证明：由于?茁（x）是?琢（x）的高阶无穷小，故lim=0，
lim=lim（1+）=1+0=1，
所以在自变量x的该种变换趋势下?琢（x）+?茁（x）～?琢（x）
此定理说明：在极限的型未定式里，若分子是不同阶的无穷小的代数和时，可以将较高阶的各项无穷小抹去，只留下低阶各项无穷小，再求极限，分母亦然。
例3
解 因为==0，==0，
所以当x→0时，-2（1-cosx）=O（5x），3x2=O（4sinx）；
故==
例4
解因为==0，所以当x→0时，x2cos=o（3sinx）；
故
===
总之，无穷小在极限的运用中，运用恰当可简化计算，但对某些阶数和等价性不太熟悉的场合，不要生硬套用无穷小代替和抹去无穷小的办法去求极限，否则只会事倍功半。
参考文献
［1］张德舜.高等数学.北京：中国医药科技出版社，2003.
［2］陈文灯，黄先开.数学复习指南（经济类）.北京：世界图书出版社，2000.
［3］张杰恒.极限十大求法.武汉：华中工学院出版社，1986.
［4］张奎忠.极限与微积分的计算.天津：天津科学技术出版社，1982.
［5］杨克劭.微积分典型题题典.沈阳：东北大学出版社，2003.
作者单位：
山西生物应用职业技术学院
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