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    高中数学恒成立问题应试处理策略|高中数学知识点总结

    时间:2019-01-08 03:13:57 来源:雅意学习网 本文已影响 雅意学习网手机站

      摘 要: 恒成立问题一直以来都是高中数学中的一个重点和难点,这类问题没有一个固定的处理方法。恒成立问题能够很好地考查函数数列不等式等知识,以及转化化归等数学思想。因此涉及恒成立的问题越来越受到高考命题者的青睐。本文试将此类题的求解策略从四个方面进行小结。
      关键词: 高中数学 恒成立问题 求解策略
      
      恒成立问题一直是高中问题数学的重要内容。它是函数、数列、不等式等内容交汇处的一个较为活跃的知识点,在近几年越来越受到高考命题者的青睐,有时在同一套试题中甚至有几道这方面的题目。本文试将此类题的求解策略进行小结。
      一、利用分类讨论思想直接处理
      例1:已知函数f(x)=x-2ax+4在区间[-1,2]上都不小于2,求a的取值范围。
      解:因为函数f(x)=x-2ax+4的对称轴为x=a,所以必须考查a与-1,2的大小关系,显然要分三种情况讨论。
      1.当a≥2时,f(x)在[-1,2]上是减函数,
      此时f(x)= f(2)=4-4a+4≥2,
      即a≤,
      结合a≥2,所以a无解。
      2.当a≤-1时,f(x)在[-1,2]上是增函数,
      此时f(-1)=1+2a+4≤2,
      f(x)=f(-1)=1+2a+4≥2,
      结合a≤-1,
      即-≤a≤-1。
      3.当-1<a<2时,
      f(x)= f(a)=a-2a+4≥2,
      即-≤a≤,
      所以-1<a≤。
      综上1、2、3,满足条件的a的范围为:-≤a≤。
      二、构造函数,利用单调性处理
      例2:对于满足|p|≤2的所有实数p,求使不等式x+px+1>p+2x恒成立的x的取值范围。
      分析:多元不等式问题求解关键在于确定哪个量为主元。此问题由于常见的思维定势,易把它看成关于x的不等式讨论。然而若将p定位主元,则可转化为在[-2,2]内关于p的一次函数大于0恒成立的问题。
      解:不等式转化为(x-1)p+x-2x+1>0,
      设f(p)=(x-1)p+x-2x+1,
      则原题转化为设f(p)=(x-1)p+x-2x+1>0在[-2,2]上恒成立,
      易得f(-2)>0f(2)>0,即x-4x+3>0x-1>0,
      解得:x>3或x<1x>1或x<-1,
      ∴x<-1或x>3。
      三、分离变量,借助不等式性质解决
      例3:已知数列{a}中,a=6n-5(n∈N),设b=,T是数列{b}的前n项和,求使得T<对所有n∈N都成立的最小正整数m。
      分析:T<恒成立?圳>Tmax,问题转化为求T的最大值。若求出T的最大值,则问题迎刃而解。
      解:依题可知b===(-),
      故T=b=[(1-)+(-)+…+(-)]
      =(1-)。
      易知(1-)<.
      ∴ 要使(1-)<(n∈N)恒成立,必须满足≤,即m≥10.
      例4:已知二次函数f(x)=ax+x+1对x∈[0,2]恒有f(x)>0,求a的取值范围。
      解: 对x∈[0,2]恒有f(x)>0即ax+x+1>0,变形为ax>-(x+1)
      当x=0时对任意的a都满足f(x)>0,只须考虑x≠0的情况:
      a>,即a>--
      要满足题意,只要保证a比右边的最大值大就行。
      现求--在x∈(0,2]上的最大值。
      令t=,
      ∴t≥,
      g(t)=-t-t=-(t+)+(t≥),
      g(t)=g()=-,
      ∴a>-.
      又∵f(x)=ax+x+1是二次函数,∴a≠0,
      ∴a>-,且a≠0.
      四、利用数形结合,直观处理
      例5:不等式(x-1)<logx在x∈(1,2)上恒成立,求a的取值范围。
      分析:这种类型的不等式对高中学生来说直接求解是很困难的,所以一般来说采用数形结合的方法。
      解:设y=(x-1),y=logx,如图所示。
      要使对一切x∈(1,2),y<y恒成立,
      显然须a>1, 且log2≥1。
      ∴1<a≤2.
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