山穷水尽疑无路,柳暗花明又一村:山穷水尽还是山重水复
时间：2019-01-04 03:29:26 来源：雅意学习网 本文已影响 人 
数学是思维的体操,解数学问题能打开解题者的智力大门,能使解题者充分地开发智力,这是因为在数学题目中,不但蕴含着一些未知量,而且隐藏着许多各式各样的联系,促进解题者去分析、去发现、去探索、去尝试、去圆满地解决,解决之后还能发人深省。波利亚指出:“解题的价值不是答案的本身,而是在于弄清是怎样想到这个解法的?是什么促进你这样想,这样做的?”这就是说,解题过程是一个思维的过程,是一个把知识与问题联系起来、思考、分析、探索的过程。怎样才能让学生学会解题?我根据以往的教学经验,分析了学生解题困难的成因与解题的方法。
一、山穷水尽疑无路
有些学生知道但想不到在一般情况下,问题与知识的联想并非是显然,即便有时能在问题中看到某些知识的影子,但毕竟不是知识的原形,或是少了条件,或是改变了结构,从而没有现成的知识方法可用。常听学生说:课上也能听懂,就是自己不会解题。也常听一些教师抱怨:这道题都讲了五六遍了,可学生还是不会,但提示就会了。这两种现象非常普遍,其实是知道但想不到,造成这种现象的原因是什么呢?
学生脑海中的知识往往是无序的、零碎的网络,甚至是一些孤立的知识点而已,当他们需要解决某些数学问题时,无法或根本不知道把储存在记忆中的有关知识方法检索出来。但教师一提到某知识或某一方法,学生是知道的,所以学生总是埋怨自己为什么知道而想不到。
有些学生上课也能想到,但一到练习或考试时又想不到了。因为在课堂上教师给了学生能想到的特殊的环境条件,如解题所需知识与本节内容有关,要么所用知识为最近讲的,要么所用方法就是本节内容的重点,这种明显的外部提示使学生有了固定的思维方向,再难的问题因明显的暗示而轻易解决了,从而失去了选择知识、选择方法的过程。还有一些教师在上课的时候,已把学生的思考范围框定,堵住了学生“出轨”的想法,其实是把学生选择知识解决问题这一过程跳过去了,而这最重要的过程一旦跳过,学生怎么能学会解题呢?
二、柳暗花明又一村
1.让学生学会“看题”,弄清题意,搞清已知是什么,未知是什么。波利亚说:“回答一个尚未弄清的问题是愚蠢……最糟糕的情况是学生并没有理解问题就进行演算或作图。”第一,当题目较长时,教师可让学生圈点重要的词或句,做到不遗漏题目关系量。第二,让学生养成数形结合的良好的解题习惯。第三,画出能体现问题特征的图形,这个问题就等于解决了一半。所以在解题时,学生应尽可能先画一个草图帮助思考,这一草图不一定非常准确,只要符合题设条件,能体现出问题的基本特征就行。
2.让学生会“想题”。教师将要解决的问题展示给学生后,不要忙于分析、讲解,而要留出足够的时间,让学生去弄清题意,并告诉学生:试试看,你由条件能想到什么?你由结论又能想到什么?只要是与条件或结论或本题有联系的知识、方法尽可能多地想出来。教师应不在乎学生想出来没有,想对了没有,应在乎学生想了没有。开始学生可能不太能够独立想,教师就应当精心设计问题,不显山露水地帮助学生,让学生感觉自己是在独立地想,便于将解题方法集中归类,不致使学生见到某些问题只知不会解,而不知为什么不会解。如平面几何中证明一般两三角形相似的方法,前后共学习三种方法,只要遇到证明三角形相似的问题,让学生去想证明两三角形的方法有哪些。然后教师可集思广益,将三种证明方法提出来,大家一起分析针对本题应该选择哪种方法。这样学生不仅能将其集中在一起记忆,而且知道寻找证明方法,又能快速有效地在脑中提取选择适合的方法。
例如,如图1所示,将纸片△ABC沿DE折叠,点A落在A′处,已知∠1=140°,∠2=40°,求∠A的度数。
想法一:用外角的思想:如图1,∠1=∠A+∠AFD,而∠AFD=∠2+∠A′,故∠1=2∠A+∠2,可得140°=2∠A+40°,即∠A=50°。
想法二:如图2,连接AA′,因为翻折AD=A′D,可知△ADA′,△AEA′是等腰三角形,利用等腰三角形的性质,已知顶角求底角,∠DAA′=70°,∠EAA′=70°,即∠BAC=50°。
想法三:如图1,∠ADA′=∠FEA′=40,∠A=∠A′,可知△ADF与△A′EF相似,可得∠EFA′=∠DFE,因为∠EFD+∠EFA′=180°,所以∠EFD=∠EFA′=90°,可得∠A=90-∠ADF=50°。
总之,首先让学生想,不仅可使学生知道遇到问题如何想,而且容易让学生将零散的知识集中起来,联系起来,生成知识块,形成合理的知识网络,可以大大提高知识的检索效率和扩大知识的检索范围,从而可达到牵一发而动全身的效果。
3.让学生学会“反思”。题目一旦获解,学生则心满意足,抛却脑后,就可能错过提高的机会。在解题教学时,学生若能注重对解题过程的反思,往往可以看透问题的本质,发现一些意外的东西。例如,小李在三环公路上匀速前进,每隔a分钟就有一辆公共汽车迎面开来,每隔b分就有一辆公共汽车从背后开过。若每辆公共汽车均以相同的速度匀速前进,汽车站发车时间是相同的,求这个时间间隔。
这是一道含有相遇、追击的综合行程问题,看上去比较复杂,学生对这类问题显得茫然无措,我在讲解这类问题,解设小李与汽车的速度分别是m、n(米/分),每辆公共汽车之间的距离为s米,则相邻两车之间的间隔时间s/n(分),根据题意得,
②中没有m、n、s,只有一个未知数x,说明可以化简上述解题过程,那么方程是怎样列出来的呢?通过分析不难发现:当人走了a分,车行了(x-a)分时,它们所走的路程相等;同样,当人走了b分,车也行了(b-x)分,它们所走的路程也相等,然后根据两个物体所移动的路程相等,则它们用的时间之比就等于它们速度比的倒数,即可得方程②。
我国数学教育家傅仲孙先生有一句名言:几何之务不在知其然,而在知其所以然,不在知其所以然,而在知其何由以所以然。在教学时,教师应引导学生反思:为什么这么想及获取知识、结论、方法、途径和思想过程,从而提高学生的认知能力,使学生的解题思维进入理性阶段,反思解题方法,从而掌握一个类型的解题规律,同时让学生反思解题过程的易错点,更加深刻地理解知识,突破思维定势,反思问题的拓展延伸,培养学生的问题意识与探究能力。
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