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    有关等价无穷小量代换问题的讨论:无穷小量等价代换

    时间:2019-02-07 03:28:44 来源:雅意学习网 本文已影响 雅意学习网手机站

      摘 要: 文章依据教学过程中遇到的两类求极限的例题,提出了无穷小量差运算的等价代换和幂指函数的无穷小量代换问题,并对这两类极限问题在理论上给出了解决的方法.   关键词: 等价无穷小量代换 幂指函数 极限
      
      在讲授利用等价无穷小量求函数极限的过程中,学生在解决下面两类例题中遇到了一定的问题.
      类一:(1) (2)
      (1)的正确解法:=
      错误解法:==0
      (2)的正确解法:=-
      =-=1-=
      错误解法(暂时认为是错误的):
      ===
      针对这两个例题的不同做法,有以下问题需要解决。
      第一:第(2)个题目的“错误做法”是否真是错误的?因为两种做法的答案是相同的,我们有理由认为第二种做法可能是正确的。
      第二:如果(2)的第二种做法正确,那么(1)的第二种做法为什么不可以呢?
      第三:和差运算满足什么条件时,就可以进行等价无穷小量的代换?
      类二:(3)(1+3x+x) (4)(1-sinx)
      (3)的正确解法:
      (1+3x+x)=(1+3x+x)
       =(1+3x+x)=e=e
      错误解法(暂时认为是错误的):
      (1+3x+x)=(1+3x+x)
      (4)的正确解法:
      (1-sinx)=(1-sinx)
      错误解法(暂时认为是错误的):
      (1-sinx)=(1-x)=(1-x)=e
      对这两个例题,有以下问题需要解决.
      第一:幂指函数的底函数或指函数为无穷小量时,是否可以做无穷小量的代换?
      第二:(1+α(x))(1+α′(x)),α(x)~α′(x)(x→ )
      定理1:设α~α′,β~β′,当lim=B≠-时,mα+nβ~ma′+nβ′,其中,m,n均为非零实数.(上述等价无穷小和极限均是在同一极限趋向下的表达式.)
      证明:lim=lim
      由定理1可以看到:在(1)中,因为=1=-,所以此时不能分别采用等价无穷小的代换.而在(2)中,因为=≠-=1,所以当x→0时,tan5x-sin2x―5x-2x,可以代换.即(2)的第二种做法是正确的,只是在做题过程中学生需要验证所做题目是否满足定理1的条件.同时,定理1还告诉我们和差运算中可以实行等价无穷小量代换的条件.
      定理2:设α~α′,β~β′,且limα′=A存在,则有lima=limα′.(上述等价无穷小量和极限均是在同一极限趋向下的表达式.)
      证明:limα=limα′•=limα′•lim
       =lim(α′)•lim()=A.
      结论得证.
      定理3:设α~α′且lim(1+α′)=A存在,则有lim(1+α)=lim(1+a′).(上述等价无穷小量和极限均是在同一极限趋向下的表达式.)
      证明:lim(1+α)=e=e
       =e=e=A
      定理2和定理3说明,在幂指函数求极限的过程中,底函数和指函数中的无穷小量均可以通过无穷小量的代换简化计算.因此,例(3)和(4)的第二种做法也是正确的.
      应用举例:
      ==
       =
      实际上,因为=-1,如果不考虑定理1的条件是否满足就去代换,将会产生错误的计算结果:
      ===1.
      (cosx)=[1+(cosx-1)]=(1-)=e.
      
      参考文献:
      [1]龚德恩.微积分[M].四川人民出版社,2006.7.
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