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    [中学数学教学中“数形结合”思想的运用及实施] 数形结合在中学数学的应用

    时间:2019-01-08 03:30:40 来源:雅意学习网 本文已影响 雅意学习网手机站

      数形结合是根据数量与图形之间的对应关系,通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法。数形结合思想,通过“以形助数,以数解形”,使复杂问题简单化,抽象问题具体化,它从形的直观和数的严谨两方面思考问题,拓宽了解题思路,是数学规律性与灵活性的有机结合。下面我从几个方面谈一下“以形辅数”在解题中的应用。
      一、方程、不等式问题
      构建函数模型并结合图像,研究方程根的范围、不等式的解集、参数范围。
      【典例1】若方程lg(-x+3x-m)=lg(3-x)在x∈(0,3)内有唯一解,求实数m的取值取范围.
      解:原方程即为3-x>0-x+3x-m=3-x即3-x>0(x-2)=1-m
      设曲线y=(x-2),x∈(0,3)和直线y=1-m.
      构成的图像如左图所示,由图可知:①当1-m=0时有唯一解,m=1;
      ②当1≤1-m<4时有唯一解,即-3<m≤0.∴m=1或-3<m≤0.
      误点警示:注意函数定义域的限制。
      二、函数问题
      构造函数模型研究量与量之间的大小关系,函数的单调性。
      1.最值、值域问题
      【典例2】求函数u=+的最值.
      分析:由于等号右端根号内t同为一次,故作简单换元=m,无法转化为一元二次函数求最值,若对式子平方处理,将会把问题复杂化,因此该题用常规解法显得比较困难,考虑到式中有两个根号,故可采用两步换元.
      解:设x=,y=,则u=x+y.
      且x+2y=16(0≤x≤4,0≤y≤2),
      所给函数化为以u为参数的直线方程y=-x+u.
      它与椭圆x+2y=16在第一象限部分(包括端点)有公共点.(如图)u=2,相切于第一象限时,u取最大值.
      由y=-x+ux+2y=16得3x-4ux+2u-16=0.
      解Δ=0得u=±2,取u=2.∴u=2.
      误点警示:该题为用常规法较难求的题,但运用数形结合,构造直线y=-x+u,求u的最值,即求直线在y轴上的截距的最值,再利用数的严谨,灵活地解决了问题。
      2.单调性问题
      【典例3】已知函数f(x)=log(x+1),若0<a<b<c,则,,的大小关系是?摇?摇?摇?摇.
      解:作出f(x)的图像,,,可看作函数图像上的点(a,f(a))(b,f(b))(c,f(c))与原点连线的斜率,易知<<.
      误点警示:抓住所比较式子的几何意义,充分利用图像直观性。
      三、立体几何问题
      构建立体几何模型,研究代数问题,研究图形的形状、位置关系、性质等。
      【典例4】若三棱锥A-BCD侧面ABC内一动点P到底面BCD的距离与到棱AB的距离相等,则动点P的轨迹与ΔABC组成的图形可能是()
      分析:此题将立体几何与解析几何巧妙结合,是对过去分离考核的创新.可先考虑特殊图形,当AC⊥平面BCD时,如图1,将问题转化为P到AB的距离和BC距离相等的点的轨迹,显然P点轨迹是∠ABC的平分线.
      当AC不垂直平面BCD时,如图2的P到平面DBC和边BC的距离分别为h,d,设A-BC-D的大小为θ,==sinθ≤1,故选D.
      误点警示:解决此类问题,关键要善于利用空间几何性质,将问题转化到平面几何中,再利用平面几何的相关性质就比较容易解决。
      四、解析几何问题
      灵活运用解析几何中的图像性质与方程、不等式间的数形转化。
      【典例5】如图一动圆M在定圆x+y=r内且与定圆上半部,以及X轴都相切,求圆心M的轨迹的方程。
      解:由几何条件(即形)易得如下等量关系(即数)
      |OM|=|OC|-|MC|(⊙O与⊙M内切于C)
      |MC|=|MD|(⊙M与X轴切与D)
      |OM|=|OD|+|MD|(ΔODM为直角三角形)
      设圆心M的坐标为(x,y)于是有|OM|=r-y
      又|OM|=r-y,|OM|=,∴=r-y
      ∴平方整理得圆心M的轨迹方程是x=-2r(y-)
      误点警示:这种求曲线(轨迹)方程的问题其思考方法就是几何条件解析化,即几何条件(形)――等量关系(数)――代数方程(式),它是求曲线方程的关键和困难之处。
      所以,在解题中学会以形论数、借数解形、数形结合,直观又入微,提高形数联想的灵活性,有助于思维素质的发展,有利于提高解题能力。
       注:“本文中所涉及到的图表、公式、注解等请以PDF格式阅读”
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