使用洛必达法则求极限的技巧:使用洛必达法则求极限的步骤
时间：2019-01-27 03:26:17 来源：雅意学习网 本文已影响 人 
【摘要】使用洛必达法则求极限,其特点就是通过求极限号下分式的分子、分母的导数(一次或多次)的方法达到消去未定因素的目的。本文介绍了在使用洛必达法则求极限时的若干方法和技巧。
【关键词】分离因式 变元替换 洛比达法则 无穷小等价替换
1.分离因式并求解其极限。
注意:在使用洛比达法则的时候要注意分离因式,先将具有非零极限的因子提到极限号外面,及时求解其极限,再对余下未定式求极限。
例1.
解:原式=
2.先作变元替换,再用洛比达法则求解。
注意:当直接就利用洛比达法则求解比较困难时,可以考虑是否可以先利用变量替换后再来利用洛比达法则求解。
例2.求解:
分析:可以令,进而简化求解过程。若直接利用洛比达法则则会使计算更复杂,这时应该考虑先用变量替换等其它方法处理,如当所求极限的函数中含有时,可以先作变量替换;如果当含有反三角函数的时候就可以先令该三角函数等于一个新的变量。
小结:若直接利用洛比达法则则会使计算更复杂,这时应该考虑先用变量替换等其它方法处理,如当所求极限的函数中含有时,可以先作变量替换;如果当含有反三角函数的时候就可以先令该三角函数等于一个新的变量。
3.以及型未定式必须先转换成了或者型未定式求解。
例3.求解:
小结:当遇到以及型未定式时,一般要进行分子分母有理化才可以构造出或者型未定式,以便直接利用洛比达法则求解。
4.先取对数,再利用洛比达法则求解。
例4.求解
注意:对于型未定式,它们为幂指函数的极限,常常利用此方法求解。
解:令,则
对于与型的数列极限不能直接利用洛比达法则但是可以间接的使用洛比达法则进行求解。
例5.求解:
解:因为:
小结:解的是一个数列时,因为数列是没有导数的,不能直接使用洛比达法则。但是由数列极限和函数极限的关系我们可以知道:离散变量n的极限可以作为连续变量x的极限,其所求的值也就是数列极限的值。
6.多次使用洛比达法则求解。
注意:只要被球函数满足洛比达法则的使用条件,就可以连续多次使用洛比达法则,直到求出极限或者得出不符合洛比达法则条件的情况为止。
例6.求解:其中)
解:因为n可以为自然数也可以为非自然数,所以需要讨论n的情况
(1)当n为自然数时,则因为,有:
(2)当n为非自然数时,因,对于有:
,又由(1)可知:
则由夹逼准则可得:
综合上述可得:其中)=0
小结:一般当时,有以下结论:
这些结论在求解型时可以直接利用。
7.结合使用无穷小等价替换求解。
例7.求解极限:
解:原式=
小结:在求解极限的时候要特别注意无穷小等价替换,无穷小等价替换可以很好的简化解题。
8.利用重要极限简化求解。
注意:
例8.设具有一阶连续导数,并且,求解
9.在使用洛比达法则之前要整理化简所要求的极限表达式,使得对数函数、反三角函数成为分子和式中的单独一项。
例9.讨论下列函数在点处的连续性:
为了求得,则可以先将的表达式恒等变形使得对数函数成为分子和式的单独一项:
因为:,故:在点处的连续性。
小结:使对数函数、反三角函数成为分子和式中的单独一项也是求解极限的一种比较常见的方法,但是必须注意的就是把对数函数、反三角函数变成为分子和式中的单独一项往往是有一定的技巧的。
10.及时调整解题的方向,或者寻求别的方法。注意:当使用洛比达法则时,如果越求越难,就应该及时调整解题的方向,或者寻求别的方法;如果极限下的函数出现循环,或者极限不存在,这时就不能再使用此法则,但是并不意味元极限不存在,只能说明该法则对此极限不可用。
例10.求解:
解:如果多次使用洛比达法则便会得到下列式子:
这样便出现了死循环,因而此题不能使用洛比达法则进行求解,事实上用其他方法求解容易得到:
参考文献
1 雷发社.高等数学重点难点100讲[M].陕西:陕西科学技术出版社,2003
2 陆军良.高等数学证明300例分析[M].北京航天航空大学出版社,1989
3 同济大学数学系.高等数学.下册[M].北京高等教育出版社,2007
4 陈纪修、於崇华、金路.数学分析[M].北京:高等教育出版社,2000
本文为全文原貌 未安装PDF浏览器用户请先下载安装 原版全文
