浅谈数形结合思想方法在高中数学教学中的应用
时间：2022-11-05 22:10:01 来源：雅意学习网 本文已影响 人 
蔺兴旺
（甘肃省山丹县第一中学，甘肃山丹 734100）
著名数学家华罗庚说，“数形结合百般好，隔离分家万事休”，一语道破数与形之间千丝万缕的联系。数形结合思想方法针对的是数学中数与形两个最古老的研究对象，教师在高中数学教改中着力引入数形结合思想方法，对学生相互转化数形知识、解决实际问题帮助是非常显著的。为此，教师有必要明晰数形结合思想方法在高中数学教学中卓越的应用价值，加强开发课程资源、找准数形结合思想方法的有效渗透点，采用多元化措施和手段启发学生感知数形结合思想，从而助益学生思维发展和对科学思想方法的实践运用。
数学中的数与形具有不可分割的紧密联系，并由此衍生出数形结合思想方法。数形结合思想方法在数学研究领域占据重要地位，是解决数学问题最基本、最科学的思想路径。经过数学学情分析和理论实践调研，数形结合思想方法在高中数学教学中的应用价值表现在以下几点。
第一，数形结合思想方法在数学教学中实际用途广泛，可以辅助学生发现解题思路。高中数学问题在内容和难度上都有所延展，涉及的课型和基础知识繁多，很多学生在思考和解答数学问题时不得其法，久而久之难免产生畏难情绪。数与形是数学研究的主要对象，学生解决任何问题都绕不开它们，所以数形结合思想方法在数学教学中的实际用途极为广泛，如集合、函数、数列、立体几何等相关问题，都离不开数形结合思想方法的支持。教师根据问题引导学生找到数与形的相互转化条件，可以辅助学生快速发现和构建解题思路，从而使学生研究数学问题更加快捷明了。
第二，数形结合思想方法具有等价性特征，能够促进学生数学抽象和形象思维能力综合发展。大部分高中生都是数学形象思维发展情况较好，而抽象思维能力偏弱，教师在数学课程中加强渗透数形结合思想方法，可以明显改善学生的思维弱势。这主要得益于数形结合思想方法的等价性特征。教师根据实际数学问题带领学生开展对代数和几何属性的分析，使学生明晰数形属性之间一一对应的关系，如在图形中表现数值或是把数量问题转化成图示、图形等等，可以提高数学教学的直观性，促进学生数学抽象和形象思维能力协调发展。
第三，应用数形结合思想方法，可以避免学生对代数问题或几何问题的片面化分析，提高学生对数学知识的贯连理解效果。现阶段大多数高中生对数与形的迁移变式能力都有待加强，面对几何或代数问题，分析理解较为片面。应用数形结合思想方法最突出的优势，就是提高学生对数形问题和知识的迁移变式效率，引导学生自觉把数形属性联系起来探析，这样既增强学生数学知识贯连理解效果，也很好地解决了高中阶段数学知识跨度大、难度高给学生造成的学习压力。
（一）整合课程资源，拓宽数形结合思想方法的应用途径
数学课程是应用数形结合思想方法的主要载体，所以教师需要率先做到对数学课程资源的分析整合，对哪些数学课型适合实践数形结合思想方法做到心中有数，从而精准把握科学思想方法的渗透点，拓宽数形结合思想方法在数学教改中的应用途径。
第一，分析数学课程内容和类型，编制数形结合思想方法应用的课程表格。高中数学课程体系具有复杂性，教师需要根据数学教材和《教学大纲》，细致深入地分析数学课程内容和类型，把数形结合思想方法的应用细化到具体课时甚至是具体问题。如高中数学中的三角函数、集合、方程和不等式、解析几何、立体几何、绝对值以及线性规划等课程，都是应用数形结合思想方法的重点课程。课程分析完成后，教师还要把所有涉及数形结合思想方法的课程整理编制成表格，条分缕析地罗列出课程哪部分知识讲授或是问题解决需要用到数形结合思想方法。比如，针对立体几何，教师需要标注出几何点线面性质和相互关系探究可以实施数形结合教学法，并在下方准备几道可以把几何问题转化成代数运算的典型习题。其他课程也如法炮制，这样基于数形结合思想方法应用的课程资源整合工作就实施完成了。
第二，根据数学课程表格内容，寻找数形结合思想方法的合理应用措施。教师在明晰高中数学课程体系中哪些内容适合应用数形结合思想方法后，还需要寻找最合理的应用措施。在这一步，教师应当根据先前编制好的课程表格制订针对措施。比如，在集合问题和运算课程中，教师可以考虑运用数轴、画Venn 图示等形式，引导学生从数形结合的角度出发，思考和处理集合问题的交、并、补运算过程，这样运算解题思路就趋向明朗。再如，针对三角函数类课程，教师寻找数形结合思想方法应用措施时，可以绘制单位圆或者三角函数图像，引导学生确定三角函数单调区间，或是学习三角函数值的大小比较技巧等，这样学生处理数学实际问题的速率势必显著提高。
（二）创新应用形式，引导学生基于数形结合思想来思考问题
数形结合思想方法在高中数学教学中的高质量应用，要立足于具体问题，引导学生基于数形结合思想思考问题，所以教师必须创新应用形式，使学生体会到数形结合思想方法在课程中的具体表现，培育学生关联数与形的思维习惯和技能。
第一，实施以数化形教学。这种数形结合思想方法应用形式作用于数量问题，如面对一项数量问题探究任务，教师可以先引导学生详细审读问题内容，把问题内容中的已知条件数据、隐含条件和所求的答案目标分解开来，整理记录到演算本上，然后联系已知条件和所要解答的目标，回顾从前学过的知识中是否存在相关的公式、定理和图像，如果学生反馈有，那么教师可以继续引导学生在演算本上列出图形表达式，或是直接绘出结构相适应的图形。最后，教师就可以让学生观察图形表达式和具体图形，借助几何定理和性质概念推理解答数量问题，这样学生就能够掌握应用数形结合思想方法解析数量问题的一般思路。
第二，实施以形变数教学。以形变数应用形式作用于数学几何或图形问题，教师在具体教学中，可以先把几何或图形问题用电子白板出示给学生，然后向学生提问：“同学们，仔细观察白板投屏上的图形和图像，大家能否阐述它们的特点？把你发现的图形性质分享出来吧！”学生调动几何图形知识经验，反馈出具有解题价值的图形性质概念，教师认同学生回答之后追问：“图形问题的题面中是否存在隐含条件？看看哪些同学拥有一双慧眼！”此时已经有部分学生反馈出问题中潜在的几何意义和定理，教师再次发问：“那么在对几何和图形问题的定量上，最直接有效的方法是什么？”有学生抢答：“借助代数进行定量计算！”接下来，教师就可以启发学生把几何图形问题中涉及的图形用代数式表示出来，然后再代入和题目条件、结论有关的公式定理，通过以形变数流畅解答几何代数问题，这样学生就能养成良好的数形结合思考习惯。
第三，实施形数互变教学。形数互变应用形式通常作用于同时具备数与形的属性且内容较复杂的数学问题，教师在实施数形结合思想方法引导时，应当根据实际的题型内容，启发学生从问题的已知条件和所求事项出发，找到其中数与形的互变条件。比如，在求函数的值域和最值类题型中，教师可以先设置一个数形结合思考问题：“同学们，大家认为函数题面和哪个数学研究对象存在对应关系？”学生短暂探讨后作答：“和图像、平面直角坐标系存在对应关系。”教师继续启发：“回答得很正确！那么，如何判断函数题目中的几何意义和代数属性呢？”有学生回答：“可以画一个平面直角坐标系建立函数和图像的对应关系。”这样学生就顺利避免解答问题的繁复计算和推理，在平面直角坐标系中确定函数的值域和最值。
（三）加强数形分析，帮助学生自主实现对数与形的等价转化
目前高中生对数形结合思想方法的应用，还比较依赖教师的引领，只有教师提醒学生在解题中形数互变，学生的思维才会向数形结合发散。新时期高中数学教学追求学生自主思考和探究，教师应当在这方面倾注更多精力，加强开展数形分析教学，帮助学生自主实现对数与形的等价转化。
第一，创设数形结合分析情境。在这一步，教师应当在现实生活中提炼数形结合问题，并引入丰富的资料为学生创设数与形的分析情境。拿某项数据的整理统计来说，教师可以先为学生出示数据涉及的领域，如关于生活事物、社会生产以及科学研究等。教师先把相关的图片、视频和调查资料展示给学生，让学生对数据整理统计的背景和目的建立直观感知。接下来，教师可以把数据计算软件和作图软件分享给学生，指导学生把已知数据转化为统计图形式，如条状、扇形、函数曲线等形式的统计图，同时把具体的数据值标注在统计图的对应位置。最后，教师可以鼓励学生开展对数与形等价转化的语言表述，如指着统计图的某一部分说出其表示的具体数据，以及数据值在整个统计图中的占比，指出哪部分表示的数据值最大、哪部分表示的数据值最小，这样学生就能切身体会数与形的等价转化，并自觉联系数形结合思想方法处理数据统计整理问题。
第二，发展对数与形等价转化的合作探究。在数学研究中，能迅速转化数的严密和形的直观是最关键的思维能力，鉴于学生数形结合思维能力的差异性，教师发展对数与形等价转化的合作探究活动极有必要。比如，教师可以把学生划分成多个探究小组，然后在白板屏幕上出示一组代数式或数字命题，以及一组几何图像和平面直角坐标系图示，同时发布数形转化探究任务：“同学们，左边的代数组和右边的图示组存在对应关系，但是它们的顺序打乱了，你能帮它们找到各自的伙伴吗？”这项探究任务新奇有趣，学生合作探究兴味很浓。教师在学生合作分析讨论期间，可以指导学生采用连线的方式把存在对应关系的数字命题和几何图示连接起来，并详细标注属于哪类对应关系，如实数和数轴上的点、曲线图像和方程式等，最后小组轮流汇报连线结果，这样学生就掌握了数与形自主等价转化的思想方法和技巧。
（四）跟进随堂训练，增强学生对数形结合思想实践运用能力
学生初步掌握数形结合思想方法后，教师还需要跟进实施随堂训练项目，巩固提升学生对数形结合思想的实践运用成效，促进学生对科学思想方法的内化和外延迁移。
首先，教师需要基于数形结合思想方法的实践运用导向，为学生精心筛选和排布随堂训练内容。比如，在高中数学课程最常见的不等式问题处理中，教师就可以先在白板上出示一个不等式命题，然后鼓励学生分析不等式命题的条件和结论，建立平面直角坐标系和函数图像，引导学生侧重于分析函数图像中的几何意义，列出对应的解题算式，这样学生就能够运用以数变形和形数互变正确处理不等式问题。然后，教师还要落实反馈和总结工作。比如，教师可以先让学生反馈解题思路，而通常运用数形结合思想解决问题的思路在2 至3 种，教师把学生反馈的解题思路记录在白板投屏上，接下来组织学生开展归纳总结，主要讨论哪种数形结合解题方法是最快捷的。如，比较集合运算训练中运用数轴法和文氏图法哪种运算效率最高，让学生根据集合问题的运算所求目标，对数轴法和文氏图法解题过程展开细致对比，总结出最高效的数形结合思想运用方式，这样学生解决实际数学问题的质量也会显著增强。
综上所述，在高中数学教改中加强应用数形结合思想方法，不但可以辅助学生发现最简洁的解题思路，而且能促进学生数学抽象和形象思维能力的协调发展，还能提高学生对数学知识的关联理解效果。为此，教师应当整合数学课程资源，拓宽数形结合思想方法的应用途径，引导学生基于数形结合思想思考问题。同时，教师要引导学生加强数形分析，提高学生对数与形的等价转换能力，跟进实施数形结合运用的随堂训练，从而避免学生对代数问题或几何图形问题的片面化理解，增强学生对数形结合思想方法的联系和实践能力。
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