数学育人理念引领下的数学解题教学
时间：2022-09-27 15:30:10 来源：雅意学习网 本文已影响 人 
【摘 要】把数学解题教学简单地等同于解题，把教学过程简单地理解为“讲题—听题—练题”的循环，这种“以题为中心”的教学观使得数学解题教学与数学育人目标背道而驰。为了使数学解题教学回归育人的本真，研究者认为，首先要甄选主题，凸显数学育人导向;其次要建立关联，注入数学育人功能;最后要多元融合，打造数学育人课堂。
【关键词】解题教学;数学育人;导数;切线不等式
全面深化课程改革的根本任务是落实立德树人、学科育人。德育、智育、体育、美育构成了学科育人的四个重要方面。数学知识对学生的发展具有重要的发展价值，是数学智育的集中体现;数学学科丰富的思想方法、策略、逻辑思维背后所蕴含的启示与哲理，是数学德育的集中体现;数学独特的学科美感，对学生发现、欣赏、表现美的能力具有潜移默化的作用[1]。除了体育，在德育、智育、美育方面，数学也能发挥其独有的育人功能，但在实际教学中，数学的德育、美育功能没有得到足够的重视，教师把教学的重心更多放在对知识的获得与思想方法的形成上。笔者曾以“导数的综合应用”复习课为主题参加优质课评比。很多教师反映相对于概念课，复习课很难上出“新花样”，因为复习课往往跟解题教学挂钩，解题教学通常以典型例题为载体，教师通过示范讲解，向学生传授技巧与方法;学生则通过听题、做题，进而掌握解题的方法。因此，在很多教师的观念中，解题教学除了解题，似乎很难把它与德育、美育联系起来。为此，笔者结合自己的教学实践进行研究，以期给大家一些启发。
一、甄选主题，凸显数学育人导向
复习课选题一般有三个维度：一是从知识系统的维度来选题，把握复习方向，保证复习课不偏题;二是从重难点、易错点的维度来选题，使重点得到强化，难点得到突破，易错点够得到纠正;三是从知识育人功能的维度来选题，整体提升学生的核心素养水平。[2]具体如图1所示。
对于“导数的综合应用”这节内容而言，一方面，学生刚学完“导数”内容，虽然已经掌握了导数的基本运算法则，会用导数求函数的单调性与极值（最值），但对于导数应用的基本原理的认知还比较薄弱。比如，很多学生一遇到问题就求导，却不知为何求导、求导了有什么用，尤其面对多次求导情景，学生基本是“一头雾水”。因此，本节课的选题应该立足导数的基本原理，注重基础，适当拓展，切不可好高骛远，一味追求难度。另一方面，导数的起源与发展具有丰富的历史文化背景，导数思想源远流长，导数应用更是与生活息息相关。因此，导数具有丰富的育人功能，尤其是德育与美育功能。但在导数的学习中，很多教师除了在起始课中进行数学文化的简单渗透，平时很少关心导数的育人功能，把大量的时间花在学生的知识学习与解题能力的培养上。因此，学生对于导数育人功能的认识是缺失的。
基于上述思考，笔者选择了人教A版高中数学教材选修2-2第32页B组习题第1题第（4）问的“切线不等式ex-1≥x≥ln（x+1）”（以下简称切线不等式）为本次复习课的例题，理由如下。一是选题立足教材，不仅让本节课“师出有名”，而且由于这个切线不等式是以章节复习题的形式呈现，在实际教学中并没有引起教师的足够关注。因此，这是一个比较新的知识，既可以避免复习课“炒冷饭”的现象，又可以化解解题教学单纯解题的尴尬。二是切线不等式在导数运算中具有重要的应用价值，蕴含“化曲为直”微积分的基本思想，有助于学生深度体验导数应用的基本原理。三是切线不等式蕴含丰富的代数和几何背景，为数学育人的实施提供了必要的素材支撑。
二、建立关联，注入数学育人功能
唯物辩证法认为世界是一个有机的整体，世界上的一切事物都处于相互影响、相互作用、相互制约之中，即一切事物都相互关联。数学也是如此，不仅数学知识之间相互关联，数学与生活、数学与其他学科之间也存在关联。有些关联隐藏得比较深，并不容易被人发现，需要将各种事物、各种形式以及物质与精神上的各种要素融合在一起，并加以综合分析，才能够发现它们之间的关联性。数学育人就是其中的一个关联方向，即把数学现象、数学原理与德育、智育、美育中的核心要素关联，进而为数学注入育人的功能。对于切线不等式，可以建立以下两种“关联”。
（一）形式关联，感受数学的美
切线不等式本身就是对称美的一种体现，不等式左边是以e为底的指数函数y=ex-1，右边是以e为底的对数函数y=ln（x+1），这两个函数互为反函数，可相互转化;从图象上看，不等式左右两边表示的是曲线，中间表示直线y=x，而这条直线不仅是两条曲线的公切线，而且也是两条曲线的对称轴。
如果要追溯x≥ln（x+1）的来龙去脉，可以做以下变形。
x≥ln（x+1）[?]1≥[1x]ln（x+1）[?]1≥ln（x+1）[1x][?]e≥（x+1）[1x]，令n=[1x]，则有（1+[1n]）n≤e，这就是有名的复利模型[limn→+∞]（1+[1n]）n=e。
由此可见，复利模型是切线不等式的一个“源头”，而[limn→+∞]（1+[1n]）n=e也充分體现数学的对称美。
从高等数学的角度分析，切线不等式与麦克劳林级数直接相关：ex=[n=1∞xnn！]≥x+1、ln（x+1）=[n=1∞（-1）n+1n]xn≤x，麦克劳林级数体现了数学的和谐美。
（二）情境关联，感悟人生哲理
数学的育人功能需要借助情境才能得以呈现与落实。因此，尽管复利模型[limn→+∞]（1+[1n]）n=e可以作为引出切线不等式的重要线索，但不能把复利模型直接教授给学生，而是首先要创设关联情境。
如果就以“复利”作为情境，比如，某人在银行存了1000元，利息按复利计算（见表1），问：哪种存款方式最合算？一年后，本息和最大是多少？
“复利”体现的是一种理财的理念，还不够贴近学生的学习生活，稍加改造，可以创设更接地气的情境。B38838FF-7371-4061-8A06-23ACEAFF21C7
情境 假设小明初始的学习水平为1，年进步幅度为100%，那么1年后小明的学习水平是多少？
（1）若小明半年进步一次，计算一年后的学习水平。
（2）若小明一季度进步一次，计算一年后的学习水平。
（3）若小明每个月进步一次、每天进步一次、每小时进步一次、每秒钟进步一次……，计算一年后的学习水平。
（4）通过上述计算，你有什么发现？
上面的情境不仅与学生的学习息息相关，而且蕴含深刻的人生哲理，如此一来，数学的德育功能便得到了凸显。
三、多元融合，打造数学育人课堂
数学解题教学要充分发挥全方位的育人功能，不仅在选题上关注具有育人价值的元素，还要把各种教学手段与方法有机地融合在教学过程中，从而打造出具有“三度”特征的数学育人课堂，即知识适度、思想高度、文化厚度[3]。基于上述理念，切线不等式的教学过程设计如下。
（一）把生活经验与数学原理融合在一起
切线不等式对学生来说是全新的知识，因此，教学的第一步就是让学生经历主动发现的过程，而要发现新知必须要立足学生的已有经验，而不是靠教师的直接“灌输”，这就需要找到切线不等式的“源头”，即复利公式[limn→+∞]（1+[1n]）n=e与学生经验的融合点。例如风靡网络的励志公式“（1+0.01）365≈37.78与（1-0.01）365≈0.0255”。这组公式虽然励志，但从数学的角度分析，该公式并不是很合理，因为人不可能一直进步下去，到一定时间，就会遇到瓶颈期，所以在这段时间内，人的进步总量应该是固定的。显然，用[limn→+∞]（1+[1n]）n=e这个模型来刻画更加合理。因此，公式的发现过程可以进行以下教学设计。
问题1-1 马上要进入高三了，希望大家能够在高三阶段能够取得更大的进步。最近，网上出现了一组公式：（1+0.01）365≈37.78、（1-0.01）365≈0.0255，看到这组公式，你有什么想法？
问题1-2 从数学的角度分析，你认为励志公式合理吗？如果不合理，应该如何优化？
问题1-3 正常情况下，在固定的时间段，进步的总量应该是一个定值。假设小明初始的学习水平为1，……（呈现情境）
问题1-4 通过上述例子，你有什么发现？
以上问题的设计意在让学生在熟悉的情境中，通过对励志公式的优化，经历公式[limn→+∞]（1+[1n]）n=e的自然发现过程，感悟数学与生活的联系。
（二）把理性思考与感性认知融合在一起
数学学习是一种理性的思考过程，为了发现数学的本质及规律，往往需要经历抽象和概括、分析和综合、质疑和批判等理性思考的过程;同时，数学学习又是一种感性的认知活动，为了建立数学与客观世界的联系，感受数学的人文精神，往往需要从感性的视角激发学生内心情感。因此，只有把理性思考与感性认知有机融合在教学中才能更好地实现数学的育人目标。
显然，（1+0.01）365≈37.78、（1-0.01）365≈0.0255、[limn→+∞]（1+[1n]）n=e这三个数学模型是“学习进步”现象的理性思考，而感性认知主要体现在学生把模型代入到现实后的感悟。
比如公式（1+0.01）365≈37.78可感悟为“勤学如初起之苗，不见其增，日有所长”;（1-0.01）365≈0.0255可感悟为“辍学如磨刀之石，不见其损，日有所亏”;[limn→+∞]（1+[1n]）n=e可感悟为“若要取得更大的进步，必须时刻保持进步”。由此可见，数学语言的魅力在于用最简洁的符号表达最深刻的道理。
笔者特意把本节课的主题命名为“放缩‘双壁——初探一类切线不等式”，学生看到这个标题很容易与语文中的“乐府双壁”联系起来，不仅体现了人文的味道，而且凸显了切线不等式的功能。
（三）把解题技巧与深化概念融合在一起
当然，解题教学不能没有解题的环节，但不能仅仅止于解题，因为概念才是数学的核心，解题只是概念的衍生与应用，若没有概念作为基础，解题与解题教学也就无从谈起。但解题教学中的概念教学不是“炒冷饭”，而是要对概念进行深入地挖掘与拓展，让学生认清概念的本质，收获新的认知。
在本节课中，有两个概念需要得到深化。一是自然常数e，在此之前，自然常数e的由来一直困扰着学生，现在可以借助“学习进步”模型[limn→+∞]（1+[1n]）n=e进行澄清，e普遍存在于生活现象中，这就是为什么e被称作“自然”常数的原因。二是切线不等式在[limn→+∞]（1+[1n]）n=e基础上，容易猜想不等式（1+[1n]）n≤e成立，引导学生对不等式进行等价变形，即因为nln（1+[1n]）<1[?]ln（1+[1n]）<[1n][?]ln（1+x）第一阶段：用切线不等式妙解三道高考题。
例1 利用切线不等式解下面三道高考题。
（1）（2010年全国Ⅱ卷理科数学）设函数f（x）=1-e-x，证明：当x>-1时，f（x）≥[xx+1]。
（2）（2013年辽宁卷理科数学）已知函数f （x）=（1+x）e-2x，g（x）=ax+[x32]+1+2xcosx。当x[∈[0，1]]时，求证：1-x ≤ f（x）≤[x1+x]。
（3）（2013年全国新课标Ⅱ卷理科数学）已知函数f（x）=ex-ln（x+m），当m≤2时，证明f（x）>0。
例1的这三道题用常规方法也可以求解，但如果用切线不等式进行“放缩”求解更容易，让学生体会切线不等式在简化运算中的重要作用。
第二阶段：用切线不等式巧解综合题。
例2 求证：[ex+（2-e）x-1x]≥lnx+1。
例2如果直接构造函数f（x）=[ex+（2-e）x-1x]-lnx-1求最值会比较麻烦，若运用切线不等式进行放缩，运算就会大大简化。因为lnx+1≤x，所以只需证明[ex+（2-e）x-1x]≥x即可，即证明ex+（2-e）x-1≥x2。接着构造函数，令g（x）=ex+（2-e）x-1-x2，g′（x）=ex-2x+2-e，则x=1是g（x）的其中一个极值点，是否还存在其他的极值点，需要继续求导。因为g″（x）=ex-2=0[?]x=ln2，则当x∈（0，ln2）时，g″（x）<0，g′（x）单调递减;当x∈（ln2，[+∞]）时，g″（x）>0，g′（x）单调递增。又因为g′（0）=3-e>0，g′（ln2）
上述解答过程既体现了切线不等式在简化运算上的功能，又强化了用导数证明不等式的一般思路。当然，切线不等式的应用远不止于此，但由于学生是初次认识切线不等式，因此问题难度不能过高，本节课点到为止即可，以后还可以做进一步提升。
数学解题教学不仅仅是以智育为主，更是应该深入挖掘数学中美育、德育的要素，并且与解题有机地融合在一起，通过创新的教学设计，从而让解题教学回归数学育人的本真。
参考文献：
[1]吴亚萍.拓展数学学科的育人价值[J].教育发展研究，2013（3）：48-52.
[2]蒋亮，吕增锋.例淡数学复习课选题“三维度”：以“平面向量”复习课为例[J].中学数学教学参考，2013（4）：15-17.
[3]文卫星.数学教学中的“微型育人”[J].中学数学教学参考，2015（10）：4-6.
【作者简介】林琪，二级教师，主要研究方向为数学教学和数学文化。
【基金项目】2021年宁波市教育科学规划重点课题“大概念视角下高中数学单元教学的研究”（2021YZD079）B38838FF-7371-4061-8A06-23ACEAFF21C7
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