σ代数的等价定义及性质_σ代数的等价定义
时间：2019-01-02 03:27:27 来源：雅意学习网 本文已影响 人 
摘 要: 本文对不同实变函数教材中所涉及的σ代数的定义进行等价性验证,深入研究σ代数所具有的各种性质,并给出σ代数的一些具体实例帮助学生理解抽象概念。 关键词: σ代数 σ环 等价定义及性质
实变函数理论是现代数学的重要基础,是现代分析数学诞生的标志之一。它包括集合、点集、测度理论、可测函数、勒贝格积分,以及微分与积分等内容。其中测度理论、可测函数和勒贝格积分是实变函数课程的重点。教师通过该课程的教学,应使学生了解与掌握集合测度的基本思想和基本方法;掌握可测函数的概念与基本性质;了解可测函数列的收敛性,可测函数与连续函数的关系;掌握勒贝格积分的基本思想、基本性质,以及积分极限定理及其应用。
测度理论是实变函数课程的重点内容之一。在测度理论的教学过程中,教师应使学生掌握好R中可测集的各种性质,并理解R中可测集全体所组成的集合类实际上对于很多集合运算都是封闭的,它是R上的一个σ代数。由于σ代数的概念比较抽象,学生理解起来会比较困难。下面我们主要针对几种不同教材中关于R上σ代数的定义给出等价性验证,深入探讨σ代数的各种性质并给出具体实例帮助学生更好地理解问题。
1.σ代数的等价定义
在涉及实变函数理论的几种常用教材中(文献[1―3]),对σ代数所给出的定义不尽相同。为了帮助学生正确理解概念,本文给出几种定义的等价性证明,从而加深学生对σ代数的认识,为进一步研究σ代数的各种性质做好准备。
定义1[1]:设Ω是R中某些集合所组成的集合类。若R∈Ω,且Ω对于可数并运算和差运算是封闭的,则称Ω是R上的σ代数。
定义2[2]:设Ω是R中某些集合所组成的集合类,且满足:
(i)Φ∈Ω;
(ii)若A∈Ω,则A∈Ω;
(iii)若A∈Ω(n=1,2,…),则A∈Ω,则称Ω是R上的σ代数。
定义3[3]:设Ω是R中某些集合所组成的非空集合类。若Ω对于有限并运算和余集运算是封闭的,则称Ω是R上的代数。若Ω是R上的代数并且对于可数并运算封闭,则称Ω是R上的σ代数。
证明:(1)设Ω满足定义1中的条件。
由于R∈Ω并且Ω对于差运算封闭,则Φ=R-R∈Ω,且当A∈Ω时,A=R-A∈Ω。又因为Ω对于可数并运算封闭,从而Ω满足定义2中的条件。
(2)设Ω满足定义2中的条件。
因为Φ∈Ω,所以Ω是非空集合类。若A∈Ω(n=1,2,…,N),其中N是正整数。令A=Φ(n=N+1,N+2,…),由定义2的条件(i)和(iii)可知,A=A∈Ω,故Ω对于有限并运算封闭。又由定义2的条件(ii)和(iii)可知,Ω对于余集运算和可数并运算封闭,因而Ω满足定义3中的条件。
(3)设Ω满足定义3中的条件。
由于Ω是非空集合类,所以存在R中集合E∈Ω。因为Ω对于余集运算封闭,故E∈Ω。再由Ω对于有限并运算封闭可知,R=E∪E∈Ω。
若A,B∈Ω,由Ω对于有限并运算和余集运算封闭可得,(A-B)=A∪B∈Ω,从而A-B∈Ω,故Ω对于差运算封闭。
又知Ω对于可数并运算封闭,所以Ω满足定义1中的条件。
综上所述,可知定义1、定义2和定义3是彼此等价的。
2.σ代数的性质
在对σ代数进行进一步深入研究的过程中,将会涉及σ代数的很多重要性质,例如σ代数与其它集合运算的关系、σ代数与代数的关系和σ代数与σ环的关系,等等。
性质1:σ代数对于可数交运算是封闭的。
证明:若A∈Ω(n=1,2,…),则由σ代数对于余集运算封闭可知,A∈Ω(n=1,2,…)。再利用σ代数对于可数并运算的封闭性,则有A=A∈Ω,从而Ω对于可数交运算封闭。
性质2:若Ω是R上的σ代数,则Φ,R∈Ω。
证明:由定义1和定义2直接可得。
性质3:若{Ω}是R上的一族σ代数,则Ω也R上的σ代数。
证明:容易验证Ω满足定义1中的条件。
性质4:设Ω是R上的代数,则Ω是R上的σ代数的充分必要条件是Ω对于互不相交的可数并运算封闭,即当E∈Ω(n=1,2,…)且互不相交时,有E∈Ω。
证明:必要性由σ代数对于可数并运算封闭直接可得。
充分性:设A∈Ω(n=1,2,…),令:B=A,B=A-A,…,B=A-A,…,容易验证{B}互不相交且A=B。
由于Ω是R上的代数,故Ω对于有限并运算和余集运算封闭,从而B=A∪A∈Ω,则B∈Ω(n=1,2,…)。利用充分性的假设条件:Ω对于互不相交的可数并运算封闭,则有A=B∈Ω。所以Ω对于可数并运算封闭,由定义3知,Ω是R上的σ代数。
性质5:设Ω是R上的代数,则Ω是R上的σ代数的充分必要条件是:若E∈Ω(n=1,2,…)且E?奂E?奂…,则E∈Ω。
证明:必要性由σ代数对于可数并运算封闭直接可得。
充分性:设A∈Ω(n=1,2,…),令:B=A,B=A∪A,…,B=A,…,
容易验证B?奂B?奂…且A=B。
由于Ω是R上的代数,故Ω对于有限并运算封闭,从而B∈Ω(n=1,2,…)。利用充分性的假设条件得,A=B∈Ω。所以Ω对于可数并运算封闭,由定义3知,Ω是R上的σ代数。
在文献中给出了σ环的概念,它与我们所研究的σ代数密切相关。
定义4[4]:设Ω是R中某些集合所组成的非空集合类。若Ω对于差运算和可数并运算是封闭的,则Ω称是R上的σ环。
注:R上的σ环对于Ω有限交运算和可数交运算都是封闭的。
证明:由于Ω是非空集合类,所以存在R中集合E∈Ω。由Ω对于差运算封闭可知,Φ=E-E∈Ω。
设E∈Ω(n=1,2,…),由于E=E-E-E,利用Ω对于差运算和可数并运算的封闭性可得E∈Ω,所以Ω对于可数交运算封闭。又因为Φ∈Ω,所以Ω对于有限并运算封闭,同上类似可得Ω对于有限交运算封闭。
性质6:设Ω是R上的σ环,则Ω是R上的σ代数的充分必要条件是R∈Ω。
证明:直接由定义1可得。
3.σ代数的例子
由于σ代数的概念比较抽象,为了让学生牢固掌握好σ代数的理论,教师需要给出一些σ代数的具体例子以帮助学生深入理解概念。
例1:R中所有子集所组成的集合类是R上的σ代数。
例2:{R,Φ}是R上的σ代数。
例3:R中可测集全体所组成的集合类是R上的σ代数。
例4:Ω={E?奂R|E至多可数或E至多可数}是R上的σ代数。
证明:显然Φ∈Ω。
若A∈Ω,则A至多可数或A至多可数,所以A∈Ω。
设A∈Ω(n=1,2,…)。若A至多可数(n=1,2,…),则A至多可数,故A∈Ω;若存在n使得A至多可数,则由A=A?奂A知A至多可数,故A∈Ω。
因而Ω满足定义2的条件,Ω是R上的σ代数。
例5:若Γ是R上的σ环,则Ω={E?奂R|E∈Γ或E∈Γ}是R上的σ代数。
证明:由于Γ是R上的σ环,故Φ∈Γ,从而Φ∈Ω。
若A∈Ω,则A∈Γ,或A∈Γ,所以A∈Ω。
设A∈Ω(n=1,2,…)。令A=A,B=A,则A=A∪B。由Γ对于有限并和可数并运算封闭可知A∈Γ,由Γ对于有限交和可数交运算封闭可知B=A∈Γ。再利用Γ对于差运算封闭知,A=A∩B=B-A∈Γ,从而A∈Ω。
因而Ω满足定义2的条件,Ω是R上的σ代数。
例6:若Γ是R上的σ环,则Ω={E?奂R|E∩F∈Γ,?坌F∈Γ}是R上的σ代数。
证明:显然Φ∈Ω。
若A∈Ω,则A∩F∈Γ,?坌F∈Γ。由Γ对于差运算封闭可知,A∩F=F-A∩F∈Γ,?坌F∈Γ,所以A∈Ω。
设A∈Ω(n=1,2,…),则A∩F∈Γ,?坌F∈Γ(n=1,2,…)。由Γ对于可数并运算封闭可知,A∩F=(A∩F)∈Γ,?坌F∈Γ,从而A∈Ω。
因而Ω满足定义2的条件,Ω是R上的σ代数。
参考文献:
[1]程其襄,张奠宙,魏国强,胡善文,王漱石.实变函数与泛函分析基础(第二版)[M].北京:高等教育出版社,2003.
[2]周民强.实变函数论(第一版)[M].北京:北京大学出版社,2001.
[3]Gerald B.Folland.Real Analysis;Modern Techniques and Their Applications 2nd ed.[M].北京:世界图书出版公司北京公司,2007.
[4]陆善镇,王昆扬.实分析[M].北京:北京师范大学出版社,1997.
资助项目:中国矿业大学(北京)《实变函数》课程建设项目;中国矿业大学(北京)《线性代数》系列课程建设项目。
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